Номер 28, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD$ и $CB_1$ можно воспользоваться двумя способами: геометрическим и координатно-векторным.

Геометрический способ

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее основание, треугольник $ABC$, является равносторонним, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Точка $D$ — середина ребра $BC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AD$ является также и высотой. Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$.

Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $AD \perp BB_1$.

Мы установили, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1B_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $CB_1$ полностью лежит в плоскости $BCC_1B_1$. Отсюда следует, что $AD \perp CB_1$. Таким образом, угол между прямыми $AD$ и $CB_1$ равен $90^\circ$.

Координатно-векторный способ

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с точкой $D$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $DC$, ось $Oy$ — вдоль прямой $DA$, а ось $Oz$ — перпендикулярно плоскости $ABC$ (вдоль высоты призмы).

По условию, все ребра призмы равны 1. Найдем координаты необходимых для решения точек.
- $D$ — начало координат, ее координаты $D(0, 0, 0)$.
- $D$ — середина $BC$ и $BC=1$, значит $DC = DB = 1/2$. Точки $B$ и $C$ лежат на оси $Ox$, следовательно, их координаты: $C(1/2, 0, 0)$ и $B(-1/2, 0, 0)$.
- $AD$ — это высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1. Ее длина равна $h = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точка $A$ лежит на оси $Oy$, ее координаты: $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Точка $B_1$ получается из точки $B$ сдвигом вдоль оси $Oz$ на высоту призмы, равную 1. Координаты точки $B_1(-1/2, 0, 1)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AD$ и $CB_1$.
- Вектор $\vec{AD}$ имеет координаты, совпадающие с координатами точки $A$: $\vec{AD} = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
- Вектор $\vec{CB_1}$ найдем как разность координат его конца и начала: $\vec{CB_1} = (-1/2 - 1/2, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле:$ \cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{CB_1}|}{|\vec{AD}| \cdot |\vec{CB_1}|} $

Найдем скалярное произведение векторов:$ \vec{AD} \cdot \vec{CB_1} = 0 \cdot (-1) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, угол между прямыми $AD$ и $CB_1$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.