Номер 24, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $AB, AD, CD$. Найдите угол $EFG$.

Пусть ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$. Точки $E$, $F$, $G$ являются серединами ребер $AB$, $AD$ и $CD$ соответственно. Для нахождения угла $EFG$ определим длины сторон треугольника $EFG$.

Найдем длину стороны EF.
В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией этого треугольника. Длина средней линии равна половине длины основания, которому она параллельна. В правильном тетраэдре все ребра равны, поэтому $BD=a$.
$EF = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

Найдем длину стороны FG.
Аналогично, в треугольнике $ACD$ отрезок $FG$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Таким образом, $FG$ — средняя линия треугольника $ACD$. Ребро $AC=a$.
$FG = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

Найдем длину стороны EG.
Отрезок $EG$ соединяет середины скрещивающихся ребер $AB$ и $CD$. Чтобы найти его длину, рассмотрим треугольник $CDE$.
Сторона $CD$ этого треугольника является ребром тетраэдра, поэтому $CD = a$.
Сторона $CE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABC$. Длина медианы (которая также является высотой) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, сторона $DE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABD$, поэтому $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Треугольник $CDE$ является равнобедренным, так как $CE = DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $G$ — середина основания $CD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, $EG \perp CD$, и треугольник $EGC$ — прямоугольный.
По теореме Пифагора в треугольнике $EGC$:
$EG^2 = CE^2 - GC^2$
Мы знаем, что $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $GC = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.
$EG^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Найдем угол EFG.
Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $EFG$: $EF = \frac{a}{2}$, $FG = \frac{a}{2}$ и $EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Применим теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли треугольник $EFG$ прямоугольным.
Сумма квадратов сторон $EF$ и $FG$:
$EF^2 + FG^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.
Квадрат стороны $EG$:
$EG^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.
Так как выполняется равенство $EF^2 + FG^2 = EG^2$, то треугольник $EFG$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив гипотенузы $EG$, следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.