Номер 18, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, найдите угол между прямыми $A_1 C_1$ и $BD_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать геометрический или векторный метод.

Способ 1: Геометрический

1. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Выполним параллельный перенос одной из прямых.

2. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$. Так как грани куба параллельны, а четырехугольник $ACC_1A_1$ является прямоугольником (поскольку ребра $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны основаниям), то прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.

3. Следовательно, искомый угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD_1$.

4. Рассмотрим взаимное расположение прямых $AC$ и $BD_1$. Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости сечения $BDD_1B_1$.
- В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
- Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$. То есть $DD_1 \perp AC$.

5. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1B_1$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

6. Прямая $BD_1$ полностью лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD_1$.

7. Так как $AC \perp BD_1$ и $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp BD_1$. Таким образом, угол между ними равен $90^\circ$.

Способ 2: Векторный

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ будет началом координат $(0, 0, 0)$, а оси $x$, $y$, $z$ будут направлены вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Примем длину ребра куба за $a$.

2. Определим координаты нужных нам вершин:
$A_1 = (a, 0, a)$
$C_1 = (0, a, a)$
$B = (a, a, 0)$
$D_1 = (0, 0, a)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1C_1$ и $BD_1$:
$\vec{A_1C_1} = \{0-a; a-0; a-a\} = \{-a; a; 0\}$
$\vec{BD_1} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$

4. Угол $\phi$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: $\cos\phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

5. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{BD_1}$:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1} = (-a) \cdot (-a) + a \cdot (-a) + 0 \cdot a = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

6. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ составляет $90^\circ$. (Находить длины векторов для знаменателя дроби уже не требуется).

Ответ: $90^\circ$