gdz.top
Номер 15, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1147-1
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Обобщающее повторение. Угол между прямыми - номер 15, страница 119.
№14
№15 (с. 119)
Условия. №15 (с. 119)
15. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.
Решение. №15 (с. 119)
Решение 2. №15 (с. 119)
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $CA_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобнее всего воспользоваться векторным методом. Для этого введем прямоугольную систему координат.
Поместим начало координат в вершину $A$ куба. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. В этой системе координат вершины, которые определяют заданные прямые, будут иметь следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $D_1(0, a, a)$, $C(a, a, 0)$ и $A_1(0, 0, a)$.
Далее найдем координаты направляющих векторов для этих прямых. Направляющим вектором прямой $AD_1$ является вектор $\vec{AD_1}$, а для прямой $CA_1$ — вектор $\vec{CA_1}$.
Координаты вектора $\vec{AD_1}$ вычисляются как разность координат его конечной и начальной точек:
$\vec{AD_1} = \{x_{D_1} - x_A; y_{D_1} - y_A; z_{D_1} - z_A\} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$.
Аналогично находим координаты вектора $\vec{CA_1}$:
$\vec{CA_1} = \{x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C\} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$.
Угол $\phi$ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти с помощью формулы скалярного произведения:
$\cos \phi = \frac{|\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1}|}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{CA_1}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$:
$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = (0) \cdot (-a) + (a) \cdot (-a) + (a) \cdot (a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, эти векторы являются ортогональными (перпендикулярными). Это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ также равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 119 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №15 (с. 119), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.