Номер 14, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться двумя методами: координатно-векторным и геометрическим.

Метод 1: Координатно-векторный

1. Введем прямоугольную систему координат. Удобно разместить начало координат в вершине D, а оси Ox, Oy, Oz направить вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Определим координаты вершин, задающих прямые:

$D(0, 0, 0)$
$B(a, a, 0)$
$A_1(a, 0, a)$
$B_1(a, a, a)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BA_1$ и $DB_1$.

Направляющий вектор для прямой $BA_1$ — это вектор $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = \{x_{A_1} - x_B; y_{A_1} - y_B; z_{A_1} - z_B\} = \{a - a; 0 - a; a - 0\} = \{0; -a; a\}$.

Направляющий вектор для прямой $DB_1$ — это вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D\} = \{a - 0; a - 0; a - 0\} = \{a; a; a\}$.

4. Вычислим угол $\alpha$ между прямыми. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1}|}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (0 \cdot a) + (-a \cdot a) + (a \cdot a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$.

Метод 2: Геометрический

1. Рассмотрим главную диагональ куба $DB_1$ и плоскость $A_1BC_1$.

2. Докажем, что прямая $DB_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, достаточно доказать, что $DB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем прямые $A_1B$ и $A_1C_1$.

3. Проверим перпендикулярность $DB_1$ и $A_1B$. Проекция диагонали $DB_1$ на грань $ABB_1A_1$ — это диагональ $AB_1$. В квадрате $ABB_1A_1$ диагонали $AB_1$ и $A_1B$ перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах, так как $A_1B$ (наклонная) перпендикулярна $AB_1$ (проекции), то она перпендикулярна и самой $DB_1$. (Это утверждение неверно, теорема о трех перпендикулярах здесь применяется иначе. Проще доказать через равенство треугольников или векторами, как в первом методе).

Воспользуемся более строгим подходом: докажем, что $DB_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BC_1$, показав, что $DB_1$ перпендикулярна $A_1B$ и $BC_1$.

Рассмотрим скалярные произведения векторов $\vec{DB_1}$, $\vec{A_1B}$ и $\vec{BC_1}$ (координаты из первого метода):

$\vec{DB_1} = \{a; a; a\}$

$\vec{A_1B} = \{a - a; a - 0; 0 - a\} = \{0; a; -a\}$

$\vec{BC_1} = \{0 - a; a - a; a - 0\} = \{-a; 0; a\}$

$\vec{DB_1} \cdot \vec{A_1B} = (a \cdot 0) + (a \cdot a) + (a \cdot (-a)) = 0 + a^2 - a^2 = 0$. Значит, $DB_1 \perp A_1B$.

$\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (a \cdot (-a)) + (a \cdot 0) + (a \cdot a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$. Значит, $DB_1 \perp BC_1$.

Поскольку прямая $DB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1B$ и $BC_1$) в плоскости $A_1BC_1$, она перпендикулярна самой плоскости.

4. Прямая $BA_1$ целиком лежит в плоскости $A_1BC_1$, так как ее концы, точки $B$ и $A_1$, принадлежат этой плоскости.

5. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $DB_1$ перпендикулярна прямой $BA_1$.

Таким образом, угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.