Номер 9, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

9.Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC_1$ и $CA_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобнее всего использовать метод координат.Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:$A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $A_1(a, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BC_1$ и $CA_1$.Направляющий вектор $\vec{v_1}$ для прямой $BC_1$ можно найти как разность координат точек $C_1$ и $B$:$\vec{v_1} = \vec{BC_1} = \{0 - a; a - a; a - 0\} = \{-a, 0, a\}$.Направляющий вектор $\vec{v_2}$ для прямой $CA_1$ можно найти как разность координат точек $A_1$ и $C$:$\vec{v_2} = \vec{CA_1} = \{a - 0; 0 - a; a - 0\} = \{a, -a, a\}$.Угол $\alpha$ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot a + 0 \cdot (-a) + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

10.Прямые $DC_1$ и $DB$ пересекаются в точке $D$. Следовательно, угол между ними — это угол $\angle BDC_1$ в треугольнике $BDC_1$. Для нахождения этого угла найдем длины сторон данного треугольника.Пусть ребро куба равно $a$.1. Сторона $DB$ является диагональю основания куба — квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DAB$, $DB = \sqrt{DA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.2. Сторона $DC_1$ является диагональю боковой грани куба — квадрата $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$, $DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани куба — квадрата $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$, $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.Так как все три стороны треугольника $BDC_1$ равны между собой ($DB = DC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.Следовательно, искомый угол $\angle BDC_1$ равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.