Номер 11, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

11. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $CA_1$ и $DC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться координатным (векторным) или геометрическим методом.

Способ 1: Координатный метод

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ будет началом координат $(0, 0, 0)$, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ будут направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

2. Определим координаты вершин, задающих прямые:

$C(0, a, 0)$

$A_1(a, 0, a)$

$D(0, 0, 0)$

$C_1(0, a, a)$

3. Найдем направляющие векторы для прямых $CA_1$ и $DC_1$.

Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{u} = \vec{CA_1} = (a - 0, 0 - a, a - 0) = (a, -a, a)$.

Для прямой $DC_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{DC_1}$:

$\vec{v} = \vec{DC_1} = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$.

4. Угол $\alpha$ между прямыми найдем как угол между их направляющими векторами, используя формулу косинуса угла через скалярное произведение:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

5. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(0) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

6. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos \alpha = \frac{0}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = 0 \implies \alpha = 90^\circ$.

Способ 2: Геометрический метод

1. Будем использовать теорему о трех перпендикулярах. Рассмотрим прямую $DC_1$, которая лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$.

2. Построим ортогональную проекцию прямой $CA_1$ на плоскость $(DCC_1)$.

- Точка $C$ уже лежит в этой плоскости, поэтому ее проекцией является она сама.

- Ребро $A_1D_1$ перпендикулярно плоскости грани $DCC_1D_1$ (так как $A_1D_1 \parallel AD$, а $AD$ перпендикулярно этой плоскости). Значит, проекцией точки $A_1$ на плоскость $(DCC_1)$ является точка $D_1$.

- Следовательно, проекцией прямой $CA_1$ на плоскость $(DCC_1)$ является прямая $CD_1$.

3. Теперь рассмотрим угол между прямой $DC_1$ и проекцией $CD_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости квадрата $DCC_1D_1$. Прямые $DC_1$ и $CD_1$ являются диагоналями этого квадрата.

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $DC_1 \perp CD_1$.

5. Согласно теореме о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае прямая $DC_1$ перпендикулярна проекции $CD_1$ наклонной $CA_1$. Следовательно, $DC_1 \perp CA_1$.

6. Таким образом, искомый угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.