Номер 17, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В кубе $ABCD, A_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в кубе можно воспользоваться координатным или геометрическим методом.

Способ 1: Метод координат

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D куба. Направим оси Ox, Oy и Oz вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими: D(0, 0, 0), A₁(a, 0, a), C₁(0, a, a), B₁(a, a, a).

Угол между скрещивающимися прямыми A₁C₁ и DB₁ равен углу между их направляющими векторами. Найдем векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{DB_1}$.

Координаты вектора $\vec{A_1C_1}$ равны разности координат его конца и начала:

$\vec{A_1C_1} = (x_{C_1} - x_{A_1}, y_{C_1} - y_{A_1}, z_{C_1} - z_{A_1}) = (0 - a, a - 0, a - a) = (-a, a, 0)$.

Координаты вектора $\vec{DB_1}$ совпадают с координатами точки B₁, так как начало вектора находится в точке D(0,0,0):

$\vec{DB_1} = (a, a, a)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{A_1C_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{A_1C_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{DB_1} = (-a) \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен 90°, и, следовательно, прямые A₁C₁ и DB₁ перпендикулярны.

Способ 2: Геометрический метод

Угол между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$ можно найти, заменив одну из прямых на параллельную ей, пересекающую вторую прямую. Прямая $A_1C_1$ (диагональ верхней грани) параллельна прямой $AC$ (диагонали нижней грани). Значит, искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$. Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна этой плоскости.

Во-первых, в основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого по свойству квадрата перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Во-вторых, ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $DD_1 \perp AC$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) из плоскости $BDD_1B_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

Прямая $DB_1$ целиком лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AC \perp DB_1$. А так как $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp DB_1$, и угол между ними равен 90°.

Ответ: 90°