Номер 23, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ответственно $BB$ и $CD$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $EF$.

23. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $BC, BD, AD$. Найдите угол $EFG$.

Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра тетраэдра через $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = AC = BD = a$.

По условию, точки $E$, $F$, $G$ являются серединами ребер $BC$, $BD$ и $AD$ соответственно. Чтобы найти угол $\angle EFG$, найдем длины сторон треугольника $EFG$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $EF$ соединяет середины сторон $BC$ и $BD$, поэтому $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок $EF$ параллелен стороне $CD$ и равен ее половине.$EF = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $FG$ соединяет середины сторон $BD$ и $AD$, поэтому $FG$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, отрезок $FG$ параллелен стороне $AB$ и равен ее половине.$FG = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем длину стороны $EG$. Для этого рассмотрим треугольник $ADE$. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $AE$ является медианой, а также высотой. Его длина вычисляется по теореме Пифагора для треугольника $AEC$: $AE = \sqrt{AC^2 - CE^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точно так же в равностороннем треугольнике $DBC$ отрезок $DE$ является медианой, и его длина $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, треугольник $ADE$ является равнобедренным со сторонами $AD=a$, $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $G$ — середина основания $AD$. Значит, отрезок $EG$ — это медиана, проведенная к основанию, и, следовательно, является также и высотой этого треугольника.Рассмотрим прямоугольный треугольник $EGD$. По теореме Пифагора:$EG^2 = DE^2 - DG^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Отсюда $EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Итак, мы имеем треугольник $EFG$ со сторонами $EF = \frac{a}{2}$, $FG = \frac{a}{2}$ и $EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Проверим для него выполнение обратной теоремы Пифагора. Найдем сумму квадратов сторон $EF$ и $FG$:$EF^2 + FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Теперь найдем квадрат стороны $EG$:$EG^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Поскольку $EF^2 + FG^2 = EG^2$, треугольник $EFG$ является прямоугольным. Угол, лежащий напротив гипотенузы $EG$, является прямым. Это и есть искомый угол $\angle EFG$.Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.