Номер 21, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямыми. Обобщающее повторение - номер 21, страница 119.

Условия.

21. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BC$ и $BD$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $EF$.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, нам дан правильный тетраэдр $ABCD$. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны между собой. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $BC$ и $BD$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $EF$ соединяет середины двух его сторон ($BC$ и $BD$). По свойству средней линии треугольника, отрезок $EF$ параллелен третьей стороне $CD$ и равен половине ее длины. Таким образом, мы имеем $EF \parallel CD$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $EF$ по определению равен углу между одной из этих прямых и любой прямой, параллельной второй и пересекающей первую. Так как $EF \parallel CD$, то искомый угол равен углу между прямыми $AB$ и $CD$. Эти прямые содержат скрещивающиеся ребра тетраэдра.

Найдем угол между прямыми $AB$ и $CD$ с помощью векторов. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Нам нужно найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Для этого вычислим их скалярное произведение.

Выразим вектор $\vec{CD}$ через векторы, выходящие из вершины $A$: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.

Теперь найдем скалярное произведение:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Так как тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. Поэтому углы между ребрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$. В частности, $\angle DAB = 60^\circ$ и $\angle CAB = 60^\circ$. Длины векторов, соответствующих ребрам, равны $a$: $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.

Вычислим скалярные произведения по определению:$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим эти значения обратно в выражение для скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Это означает, что прямые $AB$ и $CD$ также перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Так как мы ранее установили, что $EF \parallel CD$, то угол между прямыми $AB$ и $EF$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.