Номер 19, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Правильный тетраэдр $ABCD$ — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Это означает, что все шесть ребер тетраэдра равны между собой. Обозначим длину ребра за $a$.

В пространстве прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися, так как не существует плоскости, содержащей все четыре точки $A, B, C, D$. Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Однако для решения этой задачи удобнее использовать свойства перпендикулярности.

Рассмотрим медианы граней $ACD$ и $BCD$, проведенные к общему ребру $CD$.

1. Пусть точка $M$ — середина ребра $CD$.

2. В грани $ACD$ треугольник $\triangle ACD$ является равносторонним. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $CD$, следовательно, $AM$ — медиана треугольника $\triangle ACD$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Таким образом, $AM \perp CD$.

3. Аналогично, в грани $BCD$ треугольник $\triangle BCD$ является равносторонним. Отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $CD$, следовательно, $BM$ — медиана треугольника $\triangle BCD$, а значит и его высота. Таким образом, $BM \perp CD$.

4. Мы получили, что прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, которые лежат в плоскости $AMB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $AMB$.

5. Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $AMB$, так как точки $A$, $M$ и $B$ определяют эту плоскость, и точки $A$ и $B$ принадлежат этой прямой.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку $CD \perp (AMB)$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $(AMB)$, то $CD \perp AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CD$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.