Номер 12, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$.

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $DA_1$ и $AC$.

12. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BD_1$ и $DC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться геометрическим методом (с помощью теоремы о трех перпендикулярах) или координатно-векторным методом.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим прямую $BD_1$ как наклонную к плоскости грани $DCC_1D_1$. Найдем проекцию прямой $BD_1$ на эту плоскость. Так как ребро $BC$ перпендикулярно плоскости грани $DCC_1D_1$ (поскольку $BC \perp DC$ и $BC \perp CC_1$), то точка $C$ является проекцией точки $B$ на данную плоскость. Точка $D_1$ уже лежит в плоскости $DCC_1D_1$, поэтому она проецируется сама в себя. Следовательно, прямая $CD_1$ является проекцией прямой $BD_1$ на плоскость грани $DCC_1D_1$.

Прямая $DC_1$, угол с которой мы ищем, также лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$. Эта грань представляет собой квадрат. Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этого квадрата. Как известно, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Таким образом, угол между прямыми $CD_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае, прямая $DC_1$ (лежащая в плоскости) перпендикулярна проекции $CD_1$. Следовательно, прямая $DC_1$ перпендикулярна и самой наклонной $BD_1$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Способ 2: Координатно-векторный

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В данной системе координат найдем координаты необходимых нам точек: $D(0, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD_1$ и $DC_1$.

Для прямой $BD_1$ возьмем вектор $\vec{v_1} = \vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$

Для прямой $DC_1$ возьмем вектор $\vec{v_2} = \vec{DC_1}$:

$\vec{DC_1} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$

Угол $\alpha$ между прямыми найдем через косинус угла между их направляющими векторами. Для этого вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot a + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, и прямые, которым они принадлежат, также перпендикулярны.

Искомый угол составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.