Номер 8, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC$ и $C_1$.

8. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся методом координат. Это один из наиболее универсальных способов решения подобных задач.

1. Введение системы координат.

Поместим куб в прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $DA$, ось $Oy$ — вдоль $DC$, ось $Oz$ — вдоль $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

2. Определение координат вершин.

В выбранной системе координат интересующие нас вершины будут иметь следующие координаты:

• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D(0, 0, 0)$
• $B_1(a, a, a)$

3. Нахождение векторов-направляющих для прямых.

Направляющим вектором для прямой является любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Для прямой, проходящей через две точки, вектором-направляющим может служить вектор, соединяющий эти точки.

Для прямой $AC$ направляющим вектором будет вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{0 - a; a - 0; 0 - 0\} = \{-a, a, 0\}$.

Для прямой $DB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{B_{1x} - D_x; B_{1y} - D_y; B_{1z} - D_z\} = \{a - 0; a - 0; a - 0\} = \{a, a, a\}$.

4. Вычисление угла между векторами.

Угол $\phi$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами (или смежному с ним, поэтому мы берем модуль скалярного произведения). Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (-a) \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые, которым они параллельны, также перпендикулярны.

Угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos \phi = 0 \implies \phi = 90^\circ$.

Альтернативное геометрическое решение:

Можно доказать перпендикулярность прямых, используя теорему о трех перпендикулярах или признак перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $DBB_1D_1$.

1. Прямая $AC$ перпендикулярна прямой $DB$, так как это диагонали квадрата $ABCD$.

2. Прямая $DD_1$ перпендикулярна всей плоскости основания $ABCD$ (по определению куба), а значит, $DD_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$.

3. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DB$ и $DD_1$) в плоскости $DBB_1D_1$.

4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBB_1D_1$.

5. Прямая $DB_1$ лежит в плоскости $DBB_1D_1$.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AC \perp DB_1$.

Ответ: $90^\circ$.