Номер 1, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

1. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$, необходимо найти угол между пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна $AB$, а другая совпадает с $CB_1$ (или параллельна ей).

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра, принадлежащие одной грани и не имеющие общих вершин, параллельны. Ребро $DC$ параллельно ребру $AB$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ будет равен углу между параллельной ей прямой $DC$ и прямой $CB_1$. Эти прямые, $DC$ и $CB_1$, пересекаются в точке $C$. Искомый угол — это угол $\angle DCB_1$.

Для нахождения этого угла рассмотрим треугольник $\triangle DCB_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Найдем длины сторон этого треугольника:

1. Сторона $DC$ является ребром куба, следовательно, $DC = a$.

2. Сторона $CB_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Эта грань — квадрат со стороной $a$. Из прямоугольного треугольника $\triangle CBB_1$ (где $\angle CBB_1 = 90^\circ$) по теореме Пифагора находим:$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.Отсюда $CB_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $DB_1$ является главной (пространственной) диагональю куба. Ее длину можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle DBB_1$ (где $\angle DBB_1 = 90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания). Катет $DB$ является диагональю основания $ABCD$, и его длина $DB = a\sqrt{2}$. Тогда по теореме Пифагора:$DB_1^2 = DB^2 + BB_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.Отсюда $DB_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $\triangle DCB_1$ со сторонами $a$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$. Применим к нему теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли он прямоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$DC^2 + CB_1^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.

$DB_1^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$.

Так как $DC^2 + CB_1^2 = DB_1^2$, то треугольник $\triangle DCB_1$ является прямоугольным, причем прямой угол лежит напротив гипотенузы $DB_1$. Этот угол — $\angle DCB_1$.

Следовательно, $\angle DCB_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.