Номер 24.10, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24.10. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

a) $x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0;$

б) $2x + 3y + 6z - 5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.$

Угол $\phi$ между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус этого угла (обычно берется острый угол) вычисляется по формуле:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

а) Даны плоскости $x + y + z + 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.
Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
Найдем длины (модули) нормальных векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
Теперь найдем косинус угла между плоскостями:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Даны плоскости $2x + 3y + 6z - 5 = 0$ и $4x + 4y + 2z - 7 = 0$.
Нормальный вектор первой плоскости: $\vec{n_1} = (2, 3, 6)$.
Нормальный вектор второй плоскости: $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.
Найдем скалярное произведение нормальных векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 8 + 12 + 12 = 32$.
Найдем длины (модули) нормальных векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.
Теперь найдем косинус угла между плоскостями:
$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|32|}{7 \cdot 6} = \frac{32}{42} = \frac{16}{21}$.
Ответ: $\frac{16}{21}$.