Номер 24.8, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 24*. Уравнение плоскости в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 24.8, страница 117.

Условия.

24.8. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + z - 1 = 0$, $x + y - z - 1 = 0$;

в) $-7x + y + 2z = 0$, $7x - y - 2z - 5 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 8 = 0$, $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.

Решение.

Решение 2.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны. Условие коллинеарности векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.
Если при этом выполняется и условие $\frac{D_1}{D_2} = k$, то плоскости совпадают. Если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, то плоскости параллельны, но не совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей.

а) Даны плоскости $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y + z + 1 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ и $D_1 = -1$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ и $D_2 = 1$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=1$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$.
Так как $k=1 \neq -1$, плоскости не совпадают.
Ответ: плоскости параллельны.

б) Даны плоскости $x + y + z - 1 = 0$ и $x + y - z - 1 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{-1} = -1$.
Так как $1 \neq -1$, условие пропорциональности не выполняется. Нормальные векторы не коллинеарны.
Ответ: плоскости не параллельны.

в) Даны плоскости $-7x + y + 2z = 0$ и $7x - y - 2z - 5 = 0$.
Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (-7, 1, 2)$ и $D_1 = 0$.
Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (7, -1, -2)$ и $D_2 = -5$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{-7}{7} = -1$, $\frac{1}{-1} = -1$, $\frac{2}{-2} = -1$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=-1$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{0}{-5} = 0$.
Так как $k=-1 \neq 0$, плоскости не совпадают.
Ответ: плоскости параллельны.

г) Даны плоскости $2x + 4y + 6z - 8 = 0$ и $-x - 2y - 3z + 4 = 0$.
Для первой плоскости имеем $A_1=2, B_1=4, C_1=6, D_1=-8$.
Для второй плоскости имеем $A_2=-1, B_2=-2, C_2=-3, D_2=4$.
Проверим соотношение коэффициентов при переменных:
$\frac{2}{-1} = -2$, $\frac{4}{-2} = -2$, $\frac{6}{-3} = -2$.
Коэффициенты пропорциональны ($k=-2$), следовательно, нормальные векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Проверим соотношение свободных членов: $\frac{D_1}{D_2} = \frac{-8}{4} = -2$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2} = -2$, то плоскости совпадают.
Ответ: плоскости совпадают, следовательно, они параллельны.