Номер 24.7, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

§ 24*. Уравнение плоскости в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 24.7, страница 117.

Условия.

24.7. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Решение.

Решение 2.

а)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oxy$.

Уравнение координатной плоскости $Oxy$ имеет вид $z = 0$. Любая плоскость, параллельная плоскости $Oxy$, имеет уравнение вида $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где нормальный вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ параллелен нормальному вектору плоскости $Oxy$. Нормальный вектор плоскости $z=0$ — это $\vec{k}=(0, 0, 1)$.

Следовательно, нормальный вектор искомой плоскости можно принять равным $\vec{n}=(0, 0, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n}=(A, B, C)$, имеет вид:

$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

Подставим координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(0, 0, 1)$:

$0 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 1 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$0 + 0 + z - 4 = 0$

$z - 4 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oxy$, то все ее точки имеют одинаковую координату $z$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $z$ должна быть равна 4. Отсюда уравнение плоскости $z = 4$.

Ответ: $z - 4 = 0$.

б)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oxz$.

Уравнение координатной плоскости $Oxz$ имеет вид $y = 0$. Ее нормальный вектор — $\vec{j}=(0, 1, 0)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости $Oxz$, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно принять равным $\vec{n}=(0, 1, 0)$.

Подставляем координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(0, 1, 0)$ в общее уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$0 + y + 2 + 0 = 0$

$y + 2 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oxz$, то все ее точки имеют одинаковую координату $y$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $y$ должна быть равна -2. Отсюда уравнение плоскости $y = -2$.

Ответ: $y + 2 = 0$.

в)

Требуется найти уравнение плоскости, которая проходит через точку $M(1; -2; 4)$ и параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Уравнение координатной плоскости $Oyz$ имеет вид $x = 0$. Ее нормальный вектор — $\vec{i}=(1, 0, 0)$.

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости $Oyz$, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно принять равным $\vec{n}=(1, 0, 0)$.

Подставляем координаты точки $M(1; -2; 4)$ и нормального вектора $\vec{n}=(1, 0, 0)$ в общее уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$x - 1 + 0 + 0 = 0$

$x - 1 = 0$

Другой способ рассуждения: если плоскость параллельна плоскости $Oyz$, то все ее точки имеют одинаковую координату $x$. Поскольку плоскость проходит через точку $M(1; -2; 4)$, то для всех точек этой плоскости координата $x$ должна быть равна 1. Отсюда уравнение плоскости $x = 1$.

Ответ: $x - 1 = 0$.