Номер 3, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на параллельном переносе одной из прямых.

Прямые $BA_1$ и $CB_1$ являются скрещивающимися, поскольку они лежат в разных плоскостях (гранях $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$ соответственно) и не имеют общих точек.

Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос прямой $CB_1$ таким образом, чтобы она пересекла прямую $BA_1$. В кубе вектор $\vec{CB_1}$ равен вектору $\vec{DA_1}$ (так как четырехугольник $DCB_1A_1$ является параллелограммом, поскольку отрезки $DC$ и $A_1B_1$ параллельны и равны). Это означает, что прямая $CB_1$ параллельна прямой $DA_1$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $BA_1$ и $DA_1$. Эти прямые пересекаются в точке $A_1$, и искомый угол равен $\angle BA_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BA_1D$. Найдем длины его сторон, приняв длину ребра куба за $a$.

1. Сторона $BA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABA_1$:
$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $DA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ADA_1$:
$DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $BD$ является диагональю грани (квадрата) $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle BA_1D$ равны ($BA_1 = DA_1 = BD = a\sqrt{2}$), то этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle BA_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.