Страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CB_1$.

1. Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$, необходимо найти угол между пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна $AB$, а другая совпадает с $CB_1$ (или параллельна ей).

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра, принадлежащие одной грани и не имеющие общих вершин, параллельны. Ребро $DC$ параллельно ребру $AB$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ будет равен углу между параллельной ей прямой $DC$ и прямой $CB_1$. Эти прямые, $DC$ и $CB_1$, пересекаются в точке $C$. Искомый угол — это угол $\angle DCB_1$.

Для нахождения этого угла рассмотрим треугольник $\triangle DCB_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Найдем длины сторон этого треугольника:

1. Сторона $DC$ является ребром куба, следовательно, $DC = a$.

2. Сторона $CB_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Эта грань — квадрат со стороной $a$. Из прямоугольного треугольника $\triangle CBB_1$ (где $\angle CBB_1 = 90^\circ$) по теореме Пифагора находим:$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.Отсюда $CB_1 = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $DB_1$ является главной (пространственной) диагональю куба. Ее длину можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle DBB_1$ (где $\angle DBB_1 = 90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания). Катет $DB$ является диагональю основания $ABCD$, и его длина $DB = a\sqrt{2}$. Тогда по теореме Пифагора:$DB_1^2 = DB^2 + BB_1^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$.Отсюда $DB_1 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $\triangle DCB_1$ со сторонами $a$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$. Применим к нему теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли он прямоугольным. Для этого сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$DC^2 + CB_1^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$.

$DB_1^2 = (a\sqrt{3})^2 = 3a^2$.

Так как $DC^2 + CB_1^2 = DB_1^2$, то треугольник $\triangle DCB_1$ является прямоугольным, причем прямой угол лежит напротив гипотенузы $DB_1$. Этот угол — $\angle DCB_1$.

Следовательно, $\angle DCB_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $AB$ и $DA_1$.

2. Для того чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми AB и DA₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, можно воспользоваться методом параллельного переноса одной из прямых до пересечения с другой.

Прямые AB и DA₁ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Выполним параллельный перенос прямой AB в положение DC. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, то его грань ABCD является квадратом, и, следовательно, прямая AB параллельна прямой DC ($AB \parallel DC$).

Теперь задача сводится к нахождению угла между пересекающимися в точке D прямыми DC и DA₁. Искомый угол — это $\angle A_1DC$.

Рассмотрим свойства куба. Ребро DC перпендикулярно грани ADD₁A₁, так как ребро DC перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой грани: ребру AD (так как грань ABCD — квадрат) и ребру DD₁ (так как грань CDD₁C₁ — квадрат).

Прямая DA₁ полностью лежит в плоскости грани ADD₁A₁.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая DC перпендикулярна прямой DA₁. Это означает, что угол между ними равен 90°.

$\angle A_1DC = 90^\circ$

Таким образом, угол между исходными скрещивающимися прямыми AB и DA₁ также равен 90°.

Ответ: $90^\circ$.

3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся геометрическим методом, основанным на параллельном переносе одной из прямых.

Прямые $BA_1$ и $CB_1$ являются скрещивающимися, поскольку они лежат в разных плоскостях (гранях $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$ соответственно) и не имеют общих точек.

Чтобы найти угол между ними, выполним параллельный перенос прямой $CB_1$ таким образом, чтобы она пересекла прямую $BA_1$. В кубе вектор $\vec{CB_1}$ равен вектору $\vec{DA_1}$ (так как четырехугольник $DCB_1A_1$ является параллелограммом, поскольку отрезки $DC$ и $A_1B_1$ параллельны и равны). Это означает, что прямая $CB_1$ параллельна прямой $DA_1$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $BA_1$ и $DA_1$. Эти прямые пересекаются в точке $A_1$, и искомый угол равен $\angle BA_1D$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BA_1D$. Найдем длины его сторон, приняв длину ребра куба за $a$.

1. Сторона $BA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABA_1$:
$BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $DA_1$ является диагональю грани (квадрата) $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ADA_1$:
$DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $BD$ является диагональю грани (квадрата) $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle BA_1D$ равны ($BA_1 = DA_1 = BD = a\sqrt{2}$), то этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle BA_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

4. В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Выполним параллельный перенос прямой $B_1D_1$ на вектор $\vec{B_1B}$. При этом точка $B_1$ перейдет в точку $B$, а точка $D_1$ перейдет в точку $D$. Таким образом, прямая $B_1D_1$ перейдет в прямую $BD$. Прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$, так как они являются диагоналями параллельных граней куба ($A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$).

Следовательно, искомый угол между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $BA_1$ и $BD$, которые пересекаются в точке $B$. Этот угол — $\angle A_1BD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BD$. Чтобы найти угол $\angle A_1BD$, определим длины сторон этого треугольника. Пусть ребро куба равно $a$.

1. Сторона $BA_1$ является диагональю грани-квадрата $ABB_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$, ее длина равна $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $BD$ является диагональю грани-квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABD$, ее длина равна $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $A_1D$ является диагональю грани-квадрата $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle AA_1D$, ее длина равна $A_1D = \sqrt{AA_1^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle A_1BD$ равны ($BA_1 = BD = A_1D = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle A_1BD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC$.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AD$.

5. Прямые $BA_1$ и $AC$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Для нахождения угла воспользуемся методом параллельного переноса. Выполним параллельный перенос прямой $BA_1$ на прямую $CD_1$. Это возможно, так как в кубе грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $CDD_1C_1$, а отрезки $BA_1$ и $CD_1$ являются соответствующими диагоналями этих граней. Таким образом, $BA_1 \parallel CD_1$.

Теперь задача сводится к нахождению угла между пересекающимися прямыми $AC$ и $CD_1$. Эти прямые пересекаются в точке $C$, и искомый угол — это угол $\angle ACD_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD_1$. Найдем длины его сторон, приняв длину ребра куба за $a$.

1. Сторона $AC$ является диагональю нижней грани куба (квадрата $ABCD$). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Итак, $AC = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $CD_1$ является диагональю боковой грани куба (квадрата $CDD_1C_1$). Ее длина также равна $a\sqrt{2}$. Итак, $CD_1 = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $AD_1$ является диагональю боковой грани куба (квадрата $ADD_1A_1$). Ее длина также равна $a\sqrt{2}$. Итак, $AD_1 = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle ACD_1$ равны ($AC = CD_1 = AD_1 = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle ACD_1 = 60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $BA_1$ и $AC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

6. Прямые $BA_1$ и $AD_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно им параллельны.

Для нахождения угла выполним параллельный перенос одной из прямых. Прямая $AD_1$ лежит в плоскости грани $ADD_1A_1$. Прямая $BC_1$ лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$. Так как грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны, а отрезки $AD_1$ и $BC_1$ являются их соответствующими диагоналями, то прямая $AD_1$ параллельна прямой $BC_1$.

Следовательно, искомый угол между прямыми $BA_1$ и $AD_1$ равен углу между прямыми $BA_1$ и $BC_1$. Эти прямые пересекаются в точке $B$, поэтому нам нужно найти величину угла $\angle A_1BC_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BC_1$. Его стороны $BA_1$, $BC_1$ и $A_1C_1$ являются диагоналями граней куба. Пусть длина ребра куба равна $a$.

1. Сторона $BA_1$ является диагональю грани $AA_1B_1B$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора: $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Сторона $BC_1$ является диагональю грани $BB_1C_1C$. Её длина также равна $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

3. Сторона $A_1C_1$ является диагональю грани $A_1B_1C_1D_1$. Её длина также равна $A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle A_1BC_1$ равны ($BA_1 = BC_1 = A_1C_1 = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle A_1BC_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

7. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD_1$.

8. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

7. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD_1$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $B(0, a, 0)$, $D_1(a, 0, a)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $BD_1$:

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты, равные разности координат точек $C$ и $A$:
$\vec{AC} = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0)$.

Вектор $\vec{BD_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $D_1$ и $B$:
$\vec{BD_1} = (a - 0, 0 - a, a - 0) = (a, -a, a)$.

Угол $\alpha$ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти с помощью скалярного произведения векторов по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD_1}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD_1}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD_1}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD_1} = (a)(a) + (a)(-a) + (0)(a) = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны ($\cos \alpha = 0$). Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC$ и $DB_1$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC$ и $C_1$.

8. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся методом координат. Это один из наиболее универсальных способов решения подобных задач.

1. Введение системы координат.

Поместим куб в прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $DA$, ось $Oy$ — вдоль $DC$, ось $Oz$ — вдоль $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.

2. Определение координат вершин.

В выбранной системе координат интересующие нас вершины будут иметь следующие координаты:

• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D(0, 0, 0)$
• $B_1(a, a, a)$

3. Нахождение векторов-направляющих для прямых.

Направляющим вектором для прямой является любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Для прямой, проходящей через две точки, вектором-направляющим может служить вектор, соединяющий эти точки.

Для прямой $AC$ направляющим вектором будет вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{0 - a; a - 0; 0 - 0\} = \{-a, a, 0\}$.

Для прямой $DB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{B_{1x} - D_x; B_{1y} - D_y; B_{1z} - D_z\} = \{a - 0; a - 0; a - 0\} = \{a, a, a\}$.

4. Вычисление угла между векторами.

Угол $\phi$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами (или смежному с ним, поэтому мы берем модуль скалярного произведения). Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (-a) \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые, которым они параллельны, также перпендикулярны.

Угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos \phi = 0 \implies \phi = 90^\circ$.

Альтернативное геометрическое решение:

Можно доказать перпендикулярность прямых, используя теорему о трех перпендикулярах или признак перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $DBB_1D_1$.

1. Прямая $AC$ перпендикулярна прямой $DB$, так как это диагонали квадрата $ABCD$.

2. Прямая $DD_1$ перпендикулярна всей плоскости основания $ABCD$ (по определению куба), а значит, $DD_1$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$.

3. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DB$ и $DD_1$) в плоскости $DBB_1D_1$.

4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBB_1D_1$.

5. Прямая $DB_1$ лежит в плоскости $DBB_1D_1$.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AC \perp DB_1$.

Ответ: $90^\circ$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$.

9.Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC_1$ и $CA_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобнее всего использовать метод координат.Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба за $a$.В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:$A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $A_1(a, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BC_1$ и $CA_1$.Направляющий вектор $\vec{v_1}$ для прямой $BC_1$ можно найти как разность координат точек $C_1$ и $B$:$\vec{v_1} = \vec{BC_1} = \{0 - a; a - a; a - 0\} = \{-a, 0, a\}$.Направляющий вектор $\vec{v_2}$ для прямой $CA_1$ можно найти как разность координат точек $A_1$ и $C$:$\vec{v_2} = \vec{CA_1} = \{a - 0; 0 - a; a - 0\} = \{a, -a, a\}$.Угол $\alpha$ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot a + 0 \cdot (-a) + a \cdot a = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Следовательно, угол между прямыми $BC_1$ и $CA_1$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

10.Прямые $DC_1$ и $DB$ пересекаются в точке $D$. Следовательно, угол между ними — это угол $\angle BDC_1$ в треугольнике $BDC_1$. Для нахождения этого угла найдем длины сторон данного треугольника.Пусть ребро куба равно $a$.1. Сторона $DB$ является диагональю основания куба — квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DAB$, $DB = \sqrt{DA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.2. Сторона $DC_1$ является диагональю боковой грани куба — квадрата $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$, $DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.3. Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани куба — квадрата $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$, $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.Так как все три стороны треугольника $BDC_1$ равны между собой ($DB = DC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.Следовательно, искомый угол $\angle BDC_1$ равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

10. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найдите угол между прямыми $BC_{1}$ и $DB_{1}$.

11. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найдите угол между прямыми $C_{1}$ и $DC$.

10. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать два основных метода: геометрический (с использованием параллельного переноса и теорем стереометрии) и координатно-векторный. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Геометрический

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным. Идея состоит в том, чтобы выполнить параллельный перенос одной из прямых до пересечения с другой.

1. Докажем, что прямая $BC_1$ параллельна прямой $AD_1$. Рассмотрим векторы, соответствующие этим отрезкам. По правилу сложения векторов для многоугольника имеем: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Аналогично, $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$. В кубе противоположные ребра граней параллельны и равны, поэтому векторы, направленные вдоль них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что $\vec{BC_1} = \vec{AD_1}$. Равенство векторов означает, что отрезки $BC_1$ и $AD_1$ параллельны и равны по длине. Значит, прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны.

2. Таким образом, искомый угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $DB_1$.

3. Для нахождения угла между $AD_1$ и $DB_1$ применим теорему о трех перпендикулярах. Рассмотрим плоскость грани $ADD_1A_1$, в которой лежит прямая $AD_1$. Спроектируем прямую $DB_1$ (которая является наклонной к этой плоскости) на плоскость $ADD_1A_1$.

4. Проекцией точки $D$ на плоскость $ADD_1A_1$ является сама точка $D$. Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $A_1A$ и $A_1D_1$. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $A_1$.

5. Значит, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является прямая $DA_1$.

6. Прямые $AD_1$ и $DA_1$ — это диагонали грани $ADD_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $AD_1 \perp DA_1$.

7. Согласно обратной теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($DA_1$) перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости ($AD_1$), то и сама наклонная ($DB_1$) перпендикулярна этой прямой. Из того, что $DA_1 \perp AD_1$, следует, что $DB_1 \perp AD_1$.

8. Угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$. Так как $BC_1 \parallel AD_1$, то искомый угол между $BC_1$ и $DB_1$ также равен $90^\circ$.

Способ 2: Координатно-векторный

1. Введем правую прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Запишем координаты вершин, необходимых для решения задачи: $B(a,0,0)$, $C_1(a,a,a)$, $D(0,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.

3. Найдем направляющие векторы для прямых $BC_1$ и $DB_1$.Направляющий вектор для прямой $BC_1$: $\vec{v_1} = \vec{BC_1} = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a)$.Направляющий вектор для прямой $DB_1$: $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$.

4. Угол $\theta$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

5. Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (0 \cdot a) + (a \cdot (-a)) + (a \cdot a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

6. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, $\cos\theta = 0$, и угол $\theta$ между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$.

11. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $CA_1$ и $DC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться координатным (векторным) или геометрическим методом.

Способ 1: Координатный метод

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ будет началом координат $(0, 0, 0)$, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ будут направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$.

2. Определим координаты вершин, задающих прямые:

$C(0, a, 0)$

$A_1(a, 0, a)$

$D(0, 0, 0)$

$C_1(0, a, a)$

3. Найдем направляющие векторы для прямых $CA_1$ и $DC_1$.

Для прямой $CA_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{CA_1}$:

$\vec{u} = \vec{CA_1} = (a - 0, 0 - a, a - 0) = (a, -a, a)$.

Для прямой $DC_1$ направляющим вектором является вектор $\vec{DC_1}$:

$\vec{v} = \vec{DC_1} = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$.

4. Угол $\alpha$ между прямыми найдем как угол между их направляющими векторами, используя формулу косинуса угла через скалярное произведение:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

5. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(0) + (-a)(a) + (a)(a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

6. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos \alpha = \frac{0}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = 0 \implies \alpha = 90^\circ$.

Способ 2: Геометрический метод

1. Будем использовать теорему о трех перпендикулярах. Рассмотрим прямую $DC_1$, которая лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$.

2. Построим ортогональную проекцию прямой $CA_1$ на плоскость $(DCC_1)$.

- Точка $C$ уже лежит в этой плоскости, поэтому ее проекцией является она сама.

- Ребро $A_1D_1$ перпендикулярно плоскости грани $DCC_1D_1$ (так как $A_1D_1 \parallel AD$, а $AD$ перпендикулярно этой плоскости). Значит, проекцией точки $A_1$ на плоскость $(DCC_1)$ является точка $D_1$.

- Следовательно, проекцией прямой $CA_1$ на плоскость $(DCC_1)$ является прямая $CD_1$.

3. Теперь рассмотрим угол между прямой $DC_1$ и проекцией $CD_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости квадрата $DCC_1D_1$. Прямые $DC_1$ и $CD_1$ являются диагоналями этого квадрата.

4. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $DC_1 \perp CD_1$.

5. Согласно теореме о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае прямая $DC_1$ перпендикулярна проекции $CD_1$ наклонной $CA_1$. Следовательно, $DC_1 \perp CA_1$.

6. Таким образом, искомый угол между прямыми $CA_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$.

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите угол между прямыми $DA_1$ и $AC$.

12. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BD_1$ и $DC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться геометрическим методом (с помощью теоремы о трех перпендикулярах) или координатно-векторным методом.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим прямую $BD_1$ как наклонную к плоскости грани $DCC_1D_1$. Найдем проекцию прямой $BD_1$ на эту плоскость. Так как ребро $BC$ перпендикулярно плоскости грани $DCC_1D_1$ (поскольку $BC \perp DC$ и $BC \perp CC_1$), то точка $C$ является проекцией точки $B$ на данную плоскость. Точка $D_1$ уже лежит в плоскости $DCC_1D_1$, поэтому она проецируется сама в себя. Следовательно, прямая $CD_1$ является проекцией прямой $BD_1$ на плоскость грани $DCC_1D_1$.

Прямая $DC_1$, угол с которой мы ищем, также лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$. Эта грань представляет собой квадрат. Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этого квадрата. Как известно, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Таким образом, угол между прямыми $CD_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае, прямая $DC_1$ (лежащая в плоскости) перпендикулярна проекции $CD_1$. Следовательно, прямая $DC_1$ перпендикулярна и самой наклонной $BD_1$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$ равен $90^\circ$.

Способ 2: Координатно-векторный

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В данной системе координат найдем координаты необходимых нам точек: $D(0, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD_1$ и $DC_1$.

Для прямой $BD_1$ возьмем вектор $\vec{v_1} = \vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$

Для прямой $DC_1$ возьмем вектор $\vec{v_2} = \vec{DC_1}$:

$\vec{DC_1} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$

Угол $\alpha$ между прямыми найдем через косинус угла между их направляющими векторами. Для этого вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot a + a \cdot a = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, и прямые, которым они принадлежат, также перпендикулярны.

Искомый угол составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB$.

13. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $AC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся методом проекций.

1. Прямая $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ и полностью лежит в плоскости этой грани.

2. Найдем ортогональную проекцию прямой $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

- Точка $A$ уже находится в плоскости $ABB_1A_1$, поэтому ее проекция совпадает с ней самой.

- Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $A_1B_1$ и $BB_1$. Следовательно, точка $B_1$ является ортогональной проекцией точки $C_1$ на эту плоскость.

- Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из прямых и проекцией другой на плоскость, содержащую первую прямую. Нам нужно найти угол между прямой $BA_1$ и прямой $AB_1$.

4. Обе прямые, $BA_1$ и $AB_1$, являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

5. По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости (в нашем случае $BA_1$), перпендикулярна проекции наклонной (прямой $AB_1$), то она перпендикулярна и самой наклонной (прямой $AC_1$).

Таким образом, искомый угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

14. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ также используем метод проекций.

1. Прямая $BA_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

2. Найдем ортогональную проекцию прямой $DB_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

- Точка $B_1$ уже находится в плоскости $ABB_1A_1$, поэтому ее проекция — это сама точка $B_1$.

- Ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB$ и $AA_1$. Следовательно, точка $A$ является ортогональной проекцией точки $D$ на эту плоскость.

- Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.

3. Задача сводится к нахождению угла между прямой $BA_1$ и ее проекцией $AB_1$, которые обе лежат в плоскости $ABB_1A_1$.

4. Прямые $BA_1$ и $AB_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между ними составляет $90^\circ$.

5. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая в плоскости ($BA_1$) перпендикулярна проекции наклонной ($AB_1$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DB_1$).

Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

14.В кубе $ABCD A_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно воспользоваться двумя методами: координатно-векторным и геометрическим.

Метод 1: Координатно-векторный

1. Введем прямоугольную систему координат. Удобно разместить начало координат в вершине D, а оси Ox, Oy, Oz направить вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Определим координаты вершин, задающих прямые:

$D(0, 0, 0)$
$B(a, a, 0)$
$A_1(a, 0, a)$
$B_1(a, a, a)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BA_1$ и $DB_1$.

Направляющий вектор для прямой $BA_1$ — это вектор $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = \{x_{A_1} - x_B; y_{A_1} - y_B; z_{A_1} - z_B\} = \{a - a; 0 - a; a - 0\} = \{0; -a; a\}$.

Направляющий вектор для прямой $DB_1$ — это вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D\} = \{a - 0; a - 0; a - 0\} = \{a; a; a\}$.

4. Вычислим угол $\alpha$ между прямыми. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1}|}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (0 \cdot a) + (-a \cdot a) + (a \cdot a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$.

Метод 2: Геометрический

1. Рассмотрим главную диагональ куба $DB_1$ и плоскость $A_1BC_1$.

2. Докажем, что прямая $DB_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, достаточно доказать, что $DB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем прямые $A_1B$ и $A_1C_1$.

3. Проверим перпендикулярность $DB_1$ и $A_1B$. Проекция диагонали $DB_1$ на грань $ABB_1A_1$ — это диагональ $AB_1$. В квадрате $ABB_1A_1$ диагонали $AB_1$ и $A_1B$ перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах, так как $A_1B$ (наклонная) перпендикулярна $AB_1$ (проекции), то она перпендикулярна и самой $DB_1$. (Это утверждение неверно, теорема о трех перпендикулярах здесь применяется иначе. Проще доказать через равенство треугольников или векторами, как в первом методе).

Воспользуемся более строгим подходом: докажем, что $DB_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BC_1$, показав, что $DB_1$ перпендикулярна $A_1B$ и $BC_1$.

Рассмотрим скалярные произведения векторов $\vec{DB_1}$, $\vec{A_1B}$ и $\vec{BC_1}$ (координаты из первого метода):

$\vec{DB_1} = \{a; a; a\}$

$\vec{A_1B} = \{a - a; a - 0; 0 - a\} = \{0; a; -a\}$

$\vec{BC_1} = \{0 - a; a - a; a - 0\} = \{-a; 0; a\}$

$\vec{DB_1} \cdot \vec{A_1B} = (a \cdot 0) + (a \cdot a) + (a \cdot (-a)) = 0 + a^2 - a^2 = 0$. Значит, $DB_1 \perp A_1B$.

$\vec{DB_1} \cdot \vec{BC_1} = (a \cdot (-a)) + (a \cdot 0) + (a \cdot a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$. Значит, $DB_1 \perp BC_1$.

Поскольку прямая $DB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1B$ и $BC_1$) в плоскости $A_1BC_1$, она перпендикулярна самой плоскости.

4. Прямая $BA_1$ целиком лежит в плоскости $A_1BC_1$, так как ее концы, точки $B$ и $A_1$, принадлежат этой плоскости.

5. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $DB_1$ перпендикулярна прямой $BA_1$.

Таким образом, угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

15. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $CA_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ удобнее всего воспользоваться векторным методом. Для этого введем прямоугольную систему координат.

Поместим начало координат в вершину $A$ куба. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$. В этой системе координат вершины, которые определяют заданные прямые, будут иметь следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $D_1(0, a, a)$, $C(a, a, 0)$ и $A_1(0, 0, a)$.

Далее найдем координаты направляющих векторов для этих прямых. Направляющим вектором прямой $AD_1$ является вектор $\vec{AD_1}$, а для прямой $CA_1$ — вектор $\vec{CA_1}$.

Координаты вектора $\vec{AD_1}$ вычисляются как разность координат его конечной и начальной точек:

$\vec{AD_1} = \{x_{D_1} - x_A; y_{D_1} - y_A; z_{D_1} - z_A\} = \{0-0; a-0; a-0\} = \{0; a; a\}$.

Аналогично находим координаты вектора $\vec{CA_1}$:

$\vec{CA_1} = \{x_{A_1} - x_C; y_{A_1} - y_C; z_{A_1} - z_C\} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$.

Угол $\phi$ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Косинус этого угла можно найти с помощью формулы скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{|\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1}|}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{CA_1}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AD_1}$ и $\vec{CA_1}$:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{CA_1} = (0) \cdot (-a) + (a) \cdot (-a) + (a) \cdot (a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, эти векторы являются ортогональными (перпендикулярными). Это означает, что угол между ними составляет $90^\circ$. Следовательно, искомый угол между прямыми $AD_1$ и $CA_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

16. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина куба A совпадает с началом координат (0,0,0). Направим оси координат вдоль ребер куба: ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD, и ось Oz вдоль ребра AA₁.

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения задачи, будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Угол между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $DB_1$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем координаты этих векторов.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$. Этот вектор идет из точки A в точку D₁.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$. Этот вектор идет из точки D в точку B₁.

$\vec{DB_1} = B_1 - D = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$

Теперь, чтобы найти угол $\alpha$ между векторами $\vec{AD_1}$ и $\vec{DB_1}$, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AD_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов в числителе:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{DB_1} = (0 \cdot a) + (a \cdot (-a)) + (a \cdot a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Нет необходимости вычислять длины векторов, так как числитель дроби равен нулю, и, следовательно, вся дробь равна нулю.

$\cos(\alpha) = \frac{0}{|\vec{AD_1}| \cdot |\vec{DB_1}|} = 0$

Если косинус угла равен нулю, то сам угол равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

$\alpha = \arccos(0) = 90^\circ$

Таким образом, угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

17. В кубе $ABCD, A_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в кубе можно воспользоваться координатным или геометрическим методом.

Способ 1: Метод координат

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D куба. Направим оси Ox, Oy и Oz вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими: D(0, 0, 0), A₁(a, 0, a), C₁(0, a, a), B₁(a, a, a).

Угол между скрещивающимися прямыми A₁C₁ и DB₁ равен углу между их направляющими векторами. Найдем векторы $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{DB_1}$.

Координаты вектора $\vec{A_1C_1}$ равны разности координат его конца и начала:

$\vec{A_1C_1} = (x_{C_1} - x_{A_1}, y_{C_1} - y_{A_1}, z_{C_1} - z_{A_1}) = (0 - a, a - 0, a - a) = (-a, a, 0)$.

Координаты вектора $\vec{DB_1}$ совпадают с координатами точки B₁, так как начало вектора находится в точке D(0,0,0):

$\vec{DB_1} = (a, a, a)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{A_1C_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{A_1C_1}| \cdot |\vec{DB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{DB_1} = (-a) \cdot a + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен 90°, и, следовательно, прямые A₁C₁ и DB₁ перпендикулярны.

Способ 2: Геометрический метод

Угол между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $DB_1$ можно найти, заменив одну из прямых на параллельную ей, пересекающую вторую прямую. Прямая $A_1C_1$ (диагональ верхней грани) параллельна прямой $AC$ (диагонали нижней грани). Значит, искомый угол равен углу между прямыми $AC$ и $DB_1$.

Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$. Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна этой плоскости.

Во-первых, в основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого по свойству квадрата перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Во-вторых, ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $DD_1 \perp AC$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) из плоскости $BDD_1B_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

Прямая $DB_1$ целиком лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $AC \perp DB_1$. А так как $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp DB_1$, и угол между ними равен 90°.

Ответ: 90°

18. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, найдите угол между прямыми $A_1 C_1$ и $BD_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать геометрический или векторный метод.

Способ 1: Геометрический

1. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Выполним параллельный перенос одной из прямых.

2. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$. Так как грани куба параллельны, а четырехугольник $ACC_1A_1$ является прямоугольником (поскольку ребра $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны основаниям), то прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.

3. Следовательно, искомый угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD_1$.

4. Рассмотрим взаимное расположение прямых $AC$ и $BD_1$. Докажем, что прямая $AC$ перпендикулярна плоскости сечения $BDD_1B_1$.
- В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
- Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AC$. То есть $DD_1 \perp AC$.

5. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1B_1$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1B_1$.

6. Прямая $BD_1$ полностью лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp BD_1$.

7. Так как $AC \perp BD_1$ и $A_1C_1 \parallel AC$, то и $A_1C_1 \perp BD_1$. Таким образом, угол между ними равен $90^\circ$.

Способ 2: Векторный

1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ будет началом координат $(0, 0, 0)$, а оси $x$, $y$, $z$ будут направлены вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Примем длину ребра куба за $a$.

2. Определим координаты нужных нам вершин:
$A_1 = (a, 0, a)$
$C_1 = (0, a, a)$
$B = (a, a, 0)$
$D_1 = (0, 0, a)$

3. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1C_1$ и $BD_1$:
$\vec{A_1C_1} = \{0-a; a-0; a-a\} = \{-a; a; 0\}$
$\vec{BD_1} = \{0-a; 0-a; a-0\} = \{-a; -a; a\}$

4. Угол $\phi$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: $\cos\phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

5. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{BD_1}$:
$\vec{A_1C_1} \cdot \vec{BD_1} = (-a) \cdot (-a) + a \cdot (-a) + 0 \cdot a = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

6. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы ортогональны (перпендикулярны). Следовательно, угол между прямыми $A_1C_1$ и $BD_1$ составляет $90^\circ$. (Находить длины векторов для знаменателя дроби уже не требуется).

Ответ: $90^\circ$

19. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Правильный тетраэдр $ABCD$ — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Это означает, что все шесть ребер тетраэдра равны между собой. Обозначим длину ребра за $a$.

В пространстве прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися, так как не существует плоскости, содержащей все четыре точки $A, B, C, D$. Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. Однако для решения этой задачи удобнее использовать свойства перпендикулярности.

Рассмотрим медианы граней $ACD$ и $BCD$, проведенные к общему ребру $CD$.

1. Пусть точка $M$ — середина ребра $CD$.

2. В грани $ACD$ треугольник $\triangle ACD$ является равносторонним. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $CD$, следовательно, $AM$ — медиана треугольника $\triangle ACD$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Таким образом, $AM \perp CD$.

3. Аналогично, в грани $BCD$ треугольник $\triangle BCD$ является равносторонним. Отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $CD$, следовательно, $BM$ — медиана треугольника $\triangle BCD$, а значит и его высота. Таким образом, $BM \perp CD$.

4. Мы получили, что прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $BM$, которые лежат в плоскости $AMB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $AMB$.

5. Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $AMB$, так как точки $A$, $M$ и $B$ определяют эту плоскость, и точки $A$ и $B$ принадлежат этой прямой.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку $CD \perp (AMB)$, а прямая $AB$ лежит в плоскости $(AMB)$, то $CD \perp AB$.

Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CD$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

20. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в правильном тетраэдре можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Геометрический

Правильный тетраэдр $ABCD$ — это фигура, у которой все грани являются равносторонними треугольниками, и, следовательно, все шесть ребер равны. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.
Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ можно найти как угол между пересекающимися прямыми, которые им параллельны.
Пусть $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины ребер $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно.
Рассмотрим четырехугольник $KLMN$.
Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, прямая $KL$ параллельна прямой $AC$, а ее длина равна половине длины $AC$: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
Аналогично, $MN$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
Отрезок $LM$ является средней линией треугольника $BCD$. Поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}$.
Отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ABD$. Поэтому $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}$.
Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $KL$ и $LM$.
Мы установили, что все стороны четырехугольника $KLMN$ равны $\frac{a}{2}$, значит, $KLMN$ — ромб.
Найдем длины его диагоналей. Диагональ $KM$ соединяет середины скрещивающихся ребер $AB$ и $CD$. Диагональ $LN$ соединяет середины скрещивающихся ребер $BC$ и $AD$. В правильном тетраэдре расстояния между серединами любых двух скрещивающихся ребер равны. Следовательно, $KM = LN$.
Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом.
Значит, четырехугольник $KLMN$ — это квадрат, и все его углы равны $90^\circ$. В частности, угол между сторонами $KL$ и $LM$ равен $90^\circ$.
Следовательно, искомый угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

Способ 2: Векторный

Введем систему координат. Удобно вписать правильный тетраэдр в куб. Пусть ребро куба имеет длину $s$. Выберем четыре вершины куба, не лежащие на одной грани, в качестве вершин тетраэдра. Например:
$A = (s, 0, 0)$
$B = (0, s, 0)$
$C = (0, 0, s)$
$D = (s, s, s)$
Можно проверить, что квадраты длин всех шести ребер этого тетраэдра равны $2s^2$, т.е. все ребра равны $s\sqrt{2}$. Следовательно, тетраэдр $ABCD$ является правильным.
Найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BD$:
Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = C - A = (0-s, 0-0, s-0) = (-s, 0, s)$.
Вектор $\vec{BD}$ имеет координаты: $\vec{BD} = D - B = (s-0, s-s, s-0) = (s, 0, s)$.
Угол $\alpha$ между прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами: $\cos\alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-s) \cdot s + 0 \cdot 0 + s \cdot s = -s^2 + 0 + s^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, они ортогональны (перпендикулярны).
Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

21. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BC$ и $BD$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $EF$.

По условию задачи, нам дан правильный тетраэдр $ABCD$. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны между собой. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $BC$ и $BD$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $EF$ соединяет середины двух его сторон ($BC$ и $BD$). По свойству средней линии треугольника, отрезок $EF$ параллелен третьей стороне $CD$ и равен половине ее длины. Таким образом, мы имеем $EF \parallel CD$.

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $EF$ по определению равен углу между одной из этих прямых и любой прямой, параллельной второй и пересекающей первую. Так как $EF \parallel CD$, то искомый угол равен углу между прямыми $AB$ и $CD$. Эти прямые содержат скрещивающиеся ребра тетраэдра.

Найдем угол между прямыми $AB$ и $CD$ с помощью векторов. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Нам нужно найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Для этого вычислим их скалярное произведение.

Выразим вектор $\vec{CD}$ через векторы, выходящие из вершины $A$: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.

Теперь найдем скалярное произведение:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Так как тетраэдр правильный, все его грани — равносторонние треугольники. Поэтому углы между ребрами, выходящими из одной вершины, равны $60^\circ$. В частности, $\angle DAB = 60^\circ$ и $\angle CAB = 60^\circ$. Длины векторов, соответствующих ребрам, равны $a$: $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = |\vec{AD}| = a$.

Вычислим скалярные произведения по определению:$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\angle DAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle CAB) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим эти значения обратно в выражение для скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Это означает, что прямые $AB$ и $CD$ также перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

Так как мы ранее установили, что $EF \parallel CD$, то угол между прямыми $AB$ и $EF$ равен углу между прямыми $AB$ и $CD$, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

22. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины ребер соответственно $BD$ и $CD$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $EF$.

По условию, ABCD — правильный тетраэдр. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками, и все рёбра равны. Точки E и F — середины рёбер BD и CD соответственно.

Рассмотрим грань (треугольник) BCD. Так как E — середина ребра BD и F — середина ребра CD, отрезок EF является средней линией треугольника BCD.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая EF параллельна прямой BC ($EF \parallel BC$).

Угол между скрещивающимися прямыми AD и EF по определению равен углу между прямой AD и любой прямой, которая параллельна EF и пересекает AD. Так как $EF \parallel BC$, то искомый угол равен углу между скрещивающимися рёбрами тетраэдра AD и BC.

Найдём угол между прямыми AD и BC. Пусть K — середина ребра BC.

В грани ABC, которая является равносторонним треугольником, медиана AK является также и высотой. Следовательно, $AK \perp BC$.

Аналогично, в грани DBC, которая также является равносторонним треугольником, медиана DK является высотой. Следовательно, $DK \perp BC$.

Прямые AK и DK пересекаются в точке K и задают плоскость (ADK).

Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AK и DK) в плоскости (ADK), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BC перпендикулярна всей плоскости (ADK).

Прямая AD целиком лежит в плоскости (ADK). Так как прямая BC перпендикулярна плоскости (ADK), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой AD.

Таким образом, угол между прямыми AD и BC равен $90^\circ$.

Поскольку $EF \parallel BC$, то угол между прямыми AD и EF также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

ответственно $BB$ и $CD$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $EF$.

23. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $BC, BD, AD$. Найдите угол $EFG$.

Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра тетраэдра через $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = AC = BD = a$.

По условию, точки $E$, $F$, $G$ являются серединами ребер $BC$, $BD$ и $AD$ соответственно. Чтобы найти угол $\angle EFG$, найдем длины сторон треугольника $EFG$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $EF$ соединяет середины сторон $BC$ и $BD$, поэтому $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок $EF$ параллелен стороне $CD$ и равен ее половине.$EF = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $FG$ соединяет середины сторон $BD$ и $AD$, поэтому $FG$ является средней линией этого треугольника. Следовательно, отрезок $FG$ параллелен стороне $AB$ и равен ее половине.$FG = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем длину стороны $EG$. Для этого рассмотрим треугольник $ADE$. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $AE$ является медианой, а также высотой. Его длина вычисляется по теореме Пифагора для треугольника $AEC$: $AE = \sqrt{AC^2 - CE^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точно так же в равностороннем треугольнике $DBC$ отрезок $DE$ является медианой, и его длина $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, треугольник $ADE$ является равнобедренным со сторонами $AD=a$, $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $G$ — середина основания $AD$. Значит, отрезок $EG$ — это медиана, проведенная к основанию, и, следовательно, является также и высотой этого треугольника.Рассмотрим прямоугольный треугольник $EGD$. По теореме Пифагора:$EG^2 = DE^2 - DG^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Отсюда $EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Итак, мы имеем треугольник $EFG$ со сторонами $EF = \frac{a}{2}$, $FG = \frac{a}{2}$ и $EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Проверим для него выполнение обратной теоремы Пифагора. Найдем сумму квадратов сторон $EF$ и $FG$:$EF^2 + FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.Теперь найдем квадрат стороны $EG$:$EG^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Поскольку $EF^2 + FG^2 = EG^2$, треугольник $EFG$ является прямоугольным. Угол, лежащий напротив гипотенузы $EG$, является прямым. Это и есть искомый угол $\angle EFG$.Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

24. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $AB, AD, CD$. Найдите угол $EFG$.

Пусть ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно $a$. Точки $E$, $F$, $G$ являются серединами ребер $AB$, $AD$ и $CD$ соответственно. Для нахождения угла $EFG$ определим длины сторон треугольника $EFG$.

Найдем длину стороны EF.
В треугольнике $ABD$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $EF$ является средней линией этого треугольника. Длина средней линии равна половине длины основания, которому она параллельна. В правильном тетраэдре все ребра равны, поэтому $BD=a$.
$EF = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

Найдем длину стороны FG.
Аналогично, в треугольнике $ACD$ отрезок $FG$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Таким образом, $FG$ — средняя линия треугольника $ACD$. Ребро $AC=a$.
$FG = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

Найдем длину стороны EG.
Отрезок $EG$ соединяет середины скрещивающихся ребер $AB$ и $CD$. Чтобы найти его длину, рассмотрим треугольник $CDE$.
Сторона $CD$ этого треугольника является ребром тетраэдра, поэтому $CD = a$.
Сторона $CE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABC$. Длина медианы (которая также является высотой) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Аналогично, сторона $DE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ABD$, поэтому $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Треугольник $CDE$ является равнобедренным, так как $CE = DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Точка $G$ — середина основания $CD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, $EG \perp CD$, и треугольник $EGC$ — прямоугольный.
По теореме Пифагора в треугольнике $EGC$:
$EG^2 = CE^2 - GC^2$
Мы знаем, что $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $GC = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.
$EG^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$
$EG = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Найдем угол EFG.
Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $EFG$: $EF = \frac{a}{2}$, $FG = \frac{a}{2}$ и $EG = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Применим теорему, обратную теореме Пифагора, чтобы проверить, является ли треугольник $EFG$ прямоугольным.
Сумма квадратов сторон $EF$ и $FG$:
$EF^2 + FG^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.
Квадрат стороны $EG$:
$EG^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.
Так как выполняется равенство $EF^2 + FG^2 = EG^2$, то треугольник $EFG$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив гипотенузы $EG$, следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

25. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $AD$ воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $BB_1$ является боковым ребром правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$. В правильной призме все боковые ребра параллельны друг другу, поэтому $BB_1 \parallel AA_1$.

Следовательно, угол между прямыми $BB_1$ и $AD$ равен углу между прямой $AD$ и прямой $AA_1$. Прямые $AD$ и $AA_1$ пересекаются в точке $A$, поэтому искомый угол равен величине угла $\angle DAA_1$.

По определению, правильная призма является прямой призмой. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(ABC)$, так как точки $A$ и $D$ (середина $BC$) принадлежат этой плоскости.

Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $AA_1 \perp AD$.

Таким образом, угол $\angle DAA_1$ является прямым, и его величина составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

По условию, $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые грани являются квадратами со стороной 1. Точка $D$ — середина ребра $BC$. Необходимо найти угол между прямыми $A_1C_1$ и $AD$.

Прямые $A_1C_1$ и $AD$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между одной из них и прямой, которая параллельна второй прямой и пересекает первую.

Рассмотрим прямую $AC$, лежащую в плоскости нижнего основания. Так как $ABCA_1B_1C_1$ — прямая призма, то ее основания параллельны, а четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом (в данном случае — квадратом). Следовательно, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$.

Таким образом, искомый угол между скрещивающимися прямыми $A_1C_1$ и $AD$ равен углу между пересекающимися в точке $A$ прямыми $AC$ и $AD$. Этот угол — $\angle CAD$.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $ABC$. Он является равносторонним со стороной, равной 1. Точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, отрезок $AD$ является медианой треугольника $ABC$.

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная из вершины к противолежащей стороне, является также биссектрисой угла этой вершины и высотой. Значит, $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$, поэтому $\angle BAC = 60^\circ$.

Так как $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам, то величина искомого угла равна:

$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1$, точка $D$ — середина ребра $BC$. Найдите угол между прямыми $B_1C_1$ и $AD$.

По условию задачи, $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма. Это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1. Точка $D$ — середина ребра $BC$. Нам нужно найти угол между скрещивающимися прямыми $B_1C_1$ и $AD$.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.В призме $ABCA_1B_1C_1$ плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ параллельна плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, прямая $B_1C_1$, лежащая в верхнем основании, параллельна прямой $BC$, лежащей в нижнем основании.Таким образом, искомый угол между прямыми $B_1C_1$ и $AD$ равен углу между прямыми $BC$ и $AD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, который является основанием призмы. По условию, это равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Точка $D$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AD$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также высотой и биссектрисой. Поскольку $AD$ является высотой, она перпендикулярна стороне $BC$.Значит, угол между прямыми $AD$ и $BC$ составляет $90^\circ$.

Так как угол между $BC$ и $AD$ равен $90^\circ$, а прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, то угол между прямыми $B_1C_1$ и $AD$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.