Страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}{E}_{1}{F}_{1}$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$, мы можем рассмотреть треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние — это длина высоты этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $AE_1$. Найдем длины всех трех сторон этого треугольника.

В условии сказано, что призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, и все ее ребра равны 1. Это значит, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а высота призмы, например, $EE_1$, также равна 1.

Сторона $AB$ треугольника $ABE_1$ является стороной шестиугольника в основании, поэтому ее длина $AB = 1$.

Для нахождения стороны $AE_1$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $AEE_1$ (он прямоугольный, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию). Длина катета $EE_1$ равна 1. Длину катета $AE$ найдем из свойств правильного шестиугольника. $AE$ — это малая диагональ шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина равна $a\sqrt{3}$, то есть $AE = \sqrt{3}$. Тогда гипотенуза $AE_1$ равна:$AE_1 = \sqrt{AE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Для нахождения стороны $BE_1$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $BEE_1$. Длина катета $EE_1$ равна 1. Катет $BE$ является большой диагональю шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина равна $2a$, то есть $BE = 2$. Тогда гипотенуза $BE_1$ равна:$BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть треугольник $ABE_1$ со сторонами $AB=1$, $AE_1=2$ и $BE_1=\sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора:$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $ABE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Поскольку $\angle BAE_1 = 90^\circ$, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $AE_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $AB$.

Ответ: 1

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CE$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат, расположив ее наиболее удобным для вычислений образом.

Пусть точка $C$ совпадает с началом координат, то есть ее координаты $C(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CB$. Поскольку по условию все ребра призмы равны 1, длина ребра $CB$ равна 1. Тогда точка $B$ имеет координаты $B(1, 0, 0)$.

Основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$. Найдем координаты точки $E_1$. Сначала определим координаты точки $E$ в нижнем основании, которое лежит в плоскости $z=0$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до любой вершины равно $a$. Рассмотрим центр $O$ нижнего основания. Треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним со стороной 1. Найдем координаты центра $O$. Пусть $M$ — середина отрезка $CB$. Ее координаты $M(1/2, 0, 0)$. Высота $OM$ треугольника $\triangle OBC$, опущенная на сторону $CB$, равна $\sqrt{OC^2 - CM^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $OM$ перпендикулярна $CB$ (оси $Ox$), координаты центра $O$ будут $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ (мы можем выбрать любой из двух вариантов для знака координаты $y$, это не повлияет на конечный результат).

В правильном шестиугольнике главные диагонали пересекаются в центре и делятся пополам. Вектор из центра к одной вершине противоположен вектору из центра к диаметрально противоположной вершине. Так, $\vec{OE} = -\vec{OB}$.

Найдем вектор $\vec{OB}$ как разность координат точек $B$ и $O$:
$\vec{OB} = B - O = (1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Тогда вектор $\vec{OE}$ будет:
$\vec{OE} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты точки $E$ найдем, прибавив к координатам центра $O$ координаты вектора $\vec{OE}$:
$E = O + \vec{OE} = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Призма является правильной, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть 1. Точка $E_1$ получается сдвигом точки $E$ вдоль оси $Oz$ на 1. Следовательно, координаты точки $E_1$ равны $(0, -\sqrt{3}, 1)$.

Теперь у нас есть координаты точек, необходимых для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CE_1$:
$B(1, 0, 0)$
$C(0, 0, 0)$
$E_1(0, -\sqrt{3}, 1)$

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{CB} = B - C = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (0-0, -\sqrt{3}-0, 1-0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Чтобы проверить, не является ли отрезок $CB$ таким перпендикуляром, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{CB} \cdot \vec{CE_1} = (1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что угол между прямыми $CB$ и $CE_1$ составляет $90^\circ$. Таким образом, отрезок $CB$ и есть перпендикуляр от точки $B$ к прямой $CE_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $CB$. По условию задачи, все ребра призмы равны 1, значит, $CB = 1$.

Ответ: 1

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AC$.

По условию, $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а боковые ребра, перпендикулярные основанию, также равны 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AC$. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости — плоскости основания $ABCDEF$. Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче нахождения расстояния от вершины $B$ до диагонали $AC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому $AB = BC = 1$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, угол $\angle ABC = 120^\circ$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB=BC=1$ и углом между ними $\angle ABC=120^\circ$. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ — это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Значит, высота $BH$ делит угол $\angle ABC$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем:

1. Гипотенуза $AB = 1$.
2. Угол $\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
3. Катет $BH$ — искомое расстояние.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике $ABH$ имеем:

$\cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB}$

Отсюда находим длину $BH$:

$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DF$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве воспользуемся координатным методом. Введем систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, ось $Ox$ направим вдоль луча $OA$. Ось $Oy$ выберем так, чтобы она дополняла систему до правой тройки.

По условию, все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a=1$, и высота призмы равна $h=1$.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R=a=1$. Найдем координаты вершин, необходимых для решения задачи.

Координаты вершин нижнего основания:

• Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $R=1$ от начала координат, поэтому ее координаты $A(1; 0; 0)$.
• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты $B(1 \cdot \cos(60^\circ); 1 \cdot \sin(60^\circ); 0)$, то есть $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.
• Точка $D$ диаметрально противоположна точке $A$, поэтому ее координаты $D(-1; 0; 0)$.
• Точка $F$ получается поворотом точки $A$ на $-60^\circ$ (или $300^\circ$) вокруг оси $Oz$. Ее координаты $F(1 \cdot \cos(-60^\circ); 1 \cdot \sin(-60^\circ); 0)$, то есть $F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Вершина $F_1$ находится в верхнем основании призмы, которое смещено по оси $Oz$ на высоту $h=1$. Следовательно, координаты точки $F_1$ будут $F_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Итак, мы имеем координаты точки $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и прямой $DF_1$, проходящей через точки $D(-1; 0; 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

Расстояние $\rho$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_0}|}{|\vec{M_1M_2}|}$

В нашем случае $M_0 = B$, $M_1 = D$, $M_2 = F_1$.

1. Найдем векторы $\vec{DF_1}$ и $\vec{DB}$:

$\vec{DF_1} = (\frac{1}{2} - (-1); -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0; 1 - 0) = (\frac{3}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.

$\vec{DB} = (\frac{1}{2} - (-1); \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - 0) = (\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

2. Вычислим векторное произведение $\vec{DF_1} \times \vec{DB}$:

$\vec{DF_1} \times \vec{DB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \frac{3}{2}) + \mathbf{k}(\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j} + (\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4})\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2}; \frac{3\sqrt{3}}{2})$.

3. Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{DF_1} \times \vec{DB}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{3+9+27}{4}} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$.

4. Найдем модуль вектора $\vec{DF_1}$:

$|\vec{DF_1}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{12}{4} + 1} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

5. Вычислим искомое расстояние:

$\rho(B, DF_1) = \frac{|\vec{DF_1} \times \vec{DB}|}{|\vec{DF_1}|} = \frac{\frac{\sqrt{39}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$.

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

По условию, в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны. Пусть длина каждого ребра равна 1. Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из точки $B$ на прямую $AD_1$.

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $AB$ является стороной основания шестиугольника, которая по условию равна ребру призмы. Следовательно, $AB = 1$.

2. Сторона $AD_1$ является диагональю призмы. Ее можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $ADD_1$, где катеты - это диагональ основания $AD$ и боковое ребро $DD_1$.

• $DD_1 = 1$ (длина бокового ребра).
• $AD$ — большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше стороны шестиугольника. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Сторона $BD_1$ также является диагональю призмы. Найдем ее как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $BDD_1$, где катеты — это диагональ основания $BD$ и боковое ребро $DD_1$.

• $DD_1 = 1$.
• $BD$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Найдем ее длину по теореме косинусов из треугольника $BCD$ в основании. В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $120^\circ$. $BC = CD = 1$.$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Итак, стороны треугольника $ABD_1$ равны: $AB=1$, $BD_1=2$, $AD_1=\sqrt{5}$.Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $B$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ — это высота $h_B$, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AD_1$.Площадь $S$ прямоугольного треугольника $ABD_1$ можно вычислить двумя способами:1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AD_1 \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h_B$.Приравнивая два выражения для площади, получим:$1 = \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot h_B$.Отсюда находим высоту $h_B$:$h_B = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Для нахождения искомого расстояния от точки B до прямой CF₁ рассмотрим треугольник BCF₁. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из вершины B на сторону CF₁. Обозначим эту высоту как h. Чтобы найти h, сначала вычислим длины всех сторон треугольника BCF₁.

1. Сторона BC является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, $BC = 1$.

2. Сторона CF₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике CFF₁, так как боковое ребро FF₁ перпендикулярно плоскости основания. Катет FF₁ — это боковое ребро призмы, поэтому $FF_1 = 1$. Катет CF — это большая диагональ правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной a равна 2a. В нашем случае $a=1$, поэтому $CF = 2$. По теореме Пифагора: $CF_1^2 = CF^2 + FF_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $CF_1 = \sqrt{5}$.

3. Сторона BF₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике BFF₁. Катет FF₁ равен 1. Катет BF — это малая диагональ правильного шестиугольника в основании. Длина малой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной a равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BF = \sqrt{3}$. По теореме Пифагора: $BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $BF_1 = 2$.

Теперь у нас есть треугольник BCF₁ со сторонами $BC = 1$, $BF_1 = 2$ и $CF_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны: $BC^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $BC^2 + BF_1^2 = CF_1^2$, треугольник BCF₁ является прямоугольным, и его прямой угол находится при вершине B ($\angle CBF_1 = 90^\circ$).

Искомое расстояние h — это высота, проведенная из вершины прямого угла B к гипотенузе CF₁. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней. $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$. $S = \frac{1}{2} \cdot CF_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h$. Приравняем два выражения для площади: $1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot h$. Отсюда выражаем h: $h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AE_1$.

Рассмотрим треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AE_1$. Найдем длины всех сторон треугольника $ABE_1$.

1. Сторона $AB$ является ребром основания призмы, и по условию ее длина равна 1. Итак, $AB=1$.

2. Сторона $AE_1$ является диагональю боковой грани $AEE_1A_1$. Эта грань является прямоугольником, так как призма прямая. Найдем длину $AE_1$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AEE_1$: $AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$. Высота призмы $EE_1=1$. Длину диагонали основания $AE$ (которая является "короткой" диагональю шестиугольника) найдем из равнобедренного треугольника $AFE$ (где $F$ — еще одна вершина основания). В этом треугольнике стороны $AF=1$ и $FE=1$, а угол между ними $\angle AFE = 120^\circ$ (как внутренний угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов:

$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Следовательно, $AE = \sqrt{3}$. Теперь найдем длину $AE_1$:

$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$, откуда $AE_1 = 2$.

3. Сторону $BE_1$ найдем из прямоугольного треугольника $BEE_1$, где катет $EE_1=1$ (высота призмы), а второй катет $BE$ — это "длинная" диагональ основания. Длина длинной диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, то есть $BE = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$, откуда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть треугольник $ABE_1$ со сторонами $AB=1$, $AE_1=2$ и $BE_1=\sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:

$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABE_1$ является прямоугольным, причем прямой угол — это угол, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $BE_1$. Этот угол — $\angle BAE_1$.

Поскольку $\angle BAE_1 = 90^\circ$, отрезок $AB$ перпендикулярен отрезку $AE_1$. Это означает, что длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Длина ребра $AB$ по условию равна 1.

Ответ: 1.

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $O$ — центре нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ проведем через вершины $A$ и $D$.

По условию, все ребра призмы равны 1. В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ расстояние от центра до вершины также равно $a=1$. Найдем координаты необходимых нам вершин.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• Вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$.
• Вершина $B$ получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$, то есть $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0)$, то есть $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $E$ симметрична вершине $B$ относительно начала координат. Ее координаты: $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находится в плоскости $z=1$, так как высота призмы (длина бокового ребра) равна 1. Координаты вершины $E_1$ будут:

• $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь у нас есть координаты трех точек, определяющих задачу: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$

В нашем случае точка $M_0$ — это точка $B$, а прямая — это $CE_1$. В качестве точки $M_1$ на прямой возьмем точку $C$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s}$ — вектор $\vec{CE_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Теперь найдем векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - 1\vec{j} - \sqrt{3}\vec{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{CB} \times \vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{CE_1}$:

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Наконец, вычислим искомое расстояние:

$d = \frac{|\vec{CB} \times \vec{CE_1}|}{|\vec{CE_1}|} = \frac{2}{2} = 1$.

Альтернативное геометрическое решение:

Рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдем длины его сторон.

1. Сторона $BC$ — это ребро призмы, $BC = 1$.

2. Сторону $CE_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $CEE_1$. $EE_1 = 1$ (ребро призмы). $CE$ — малая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Длина малой диагонали $d = a\sqrt{3}$, то есть $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Тогда $CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $CE_1 = 2$.

3. Сторону $BE_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BEE_1$. $EE_1 = 1$. $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Длина большой диагонали $D = 2a$, то есть $BE = 2 \cdot 1 = 2$. Тогда $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны $1, 2, \sqrt{5}$.

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора:

$BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $BCE_1$ является прямоугольным, причем прямой угол — это $\angle BCE_1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CE_1$. Поскольку $\angle BCE_1 = 90^\circ$, таким перпендикуляром является катет $BC$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BC$, то есть 1.

Ответ: 1

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

1.По условию, куб $ABCDA_1B_1C_1$ является единичным, следовательно, длина его ребра равна 1. Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.
Плоскость, проходящая через точки $A$, $C$ и $C_1$, также проходит и через точку $A_1$, так как ребра $AA_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Таким образом, плоскость $ACC_1$ — это диагональная плоскость куба $ACC_1A_1$.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому $BO \perp AC$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Так как прямая $BO$ лежит в плоскости $ABCD$, то $AA_1 \perp BO$.
Получаем, что прямая $BO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BO$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.
Следовательно, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.
Найдем длину $BO$. Точка $O$ — середина диагонали $BD$. Длину диагонали $BD$ найдем из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$BD = \sqrt{2}$
Так как $BO = \frac{1}{2}BD$, то искомое расстояние равно:
$BO = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1$ найдите расстояние от точки $B$ до
плоскости $AB_1C_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ куба совпадает с началом координат, а оси $Dx$, $Dy$, $Dz$ направлены вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Так как куб единичный, его ребро равно 1. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$D(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$.

Остальные интересующие нас вершины:

$B(1, 1, 0)$ (так как $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$)

$B_1(1, 1, 1)$ (так как $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1}$)

$C_1(0, 1, 1)$ (так как $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{DD_1}$)

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(1, 0, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $C_1(0, 1, 1)$.

Составим уравнение плоскости $(AB_1C_1)$. Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. Для его нахождения найдем вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (a, b, c)$, который перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AB_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (0, -1, 1)$.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид $0x - 1y + 1z + d = 0$, или $-y + z + d = 0$.

Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в уравнение координаты любой из точек, принадлежащих плоскости, например, точки $A(1, 0, 0)$:

$-(0) + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0$.

Итак, уравнение плоскости $(AB_1C_1)$ есть $-y + z = 0$ или $y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние $\rho$ от точки $B(x_0, y_0, z_0) = B(1, 1, 0)$ до плоскости $y - z = 0$ (где $a=0, b=1, c=-1, d=0$) по формуле:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Подставляем наши значения:

$\rho = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDA_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D и осями, направленными вдоль ребер куба: ось Ox вдоль DA, ось Oy вдоль DC, ось Oz вдоль DD₁.

Так как куб единичный, его ребро равно 1. Определим координаты необходимых для решения точек в этой системе:

D(0; 0; 0) – начало координат.

C(0; 1; 0) – лежит на оси Oy.

A(1; 0; 0) – лежит на оси Ox.

A₁(1; 0; 1) – проекция на плоскость Oxy – точка A, z-координата равна 1.

B(1; 1; 0) – точка, для которой ищем расстояние.

Плоскость CDA₁ проходит через три точки: C(0; 1; 0), D(0; 0; 0) и A₁(1; 0; 1). Составим уравнение этой плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат D(0; 0; 0), подставив эти координаты в уравнение, получим $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, откуда $d = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Для нахождения коэффициентов a, b, c найдем вектор нормали $\vec{n} = (a, b, c)$ к плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Возьмем векторы $\vec{DC}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DC} = (0-0; 1-0; 0-0) = (0; 1; 0)$

$\vec{DA_1} = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{n} = \vec{DC} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (1; 0; -1)$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (1; 0; -1)$. Уравнение плоскости CDA₁ имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z = 0$, то есть $x - z = 0$.

Теперь найдем искомое расстояние $\rho$ от точки B(1; 1; 0) до плоскости $x - z = 0$, используя формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

В нашем случае точка $(x_0, y_0, z_0) = (1; 1; 0)$, а коэффициенты уравнения плоскости $1 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z + 0 = 0$ равны $a=1, b=0, c=-1, d=0$.

Подставляем значения в формулу:

$\rho = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\rho = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: расстояние от точки В до плоскости CDA₁ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. В единичном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$.

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Расстояние $h$ от точки $D$ до плоскости $ABE$ можно найти через объем тетраэдра $DABE$ и площадь его основания $ABE$ по формуле:$h = \frac{3 \cdot V_{DABE}}{S_{ABE}}$

1. Вычисление объема тетраэдра $DABE$.
Объем тетраэдра $DABE$ можно вычислить, если в качестве вершины взять точку $A$, а в качестве основания — треугольник $BDE$. Тогда формула для объема будет $V_{A-BDE} = \frac{1}{3} S_{BDE} \cdot H$, где $S_{BDE}$ — площадь треугольника $BDE$, а $H$ — высота тетраэдра $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на основание $BCD$.

По условию, $ABCD$ — единичный правильный тетраэдр, значит, все его ребра равны 1, а все грани — равносторонние треугольники со стороной 1.Площадь грани $BCD$ равна:$S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Точка $E$ — середина ребра $CD$. Следовательно, отрезок $BE$ является медианой в треугольнике $BCD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому:$S_{BDE} = \frac{1}{2} S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Высота правильного тетраэдра со стороной $a$ вычисляется по формуле $H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Для единичного тетраэдра $a=1$, поэтому высота $H$ из вершины $A$ на плоскость $BCD$ равна:$H = \sqrt{\frac{2}{3}}$Теперь можем найти объем тетраэдра $DABE$:$V_{DABE} = V_{A-BDE} = \frac{1}{3} S_{BDE} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{24}$

2. Вычисление площади треугольника $ABE$.
Найдем стороны треугольника $ABE$.Сторона $AB$ является ребром тетраэдра, поэтому $AB = 1$.Сторона $BE$ является медианой (а также высотой и биссектрисой) в равностороннем треугольнике $BCD$ со стороной 1. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.$BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Аналогично, сторона $AE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ACD$.$AE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, треугольник $ABE$ — равнобедренный со сторонами $AB=1$, $AE = BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $EM$ из вершины $E$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{1}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AME$ по теореме Пифагора найдем высоту $EM$:$EM^2 = AE^2 - AM^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$EM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Площадь треугольника $ABE$ равна:$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. Нахождение расстояния от точки $D$ до плоскости $ABE$.
Теперь у нас есть все данные для вычисления искомого расстояния $h$:$h = \frac{3 \cdot V_{DABE}}{S_{ABE}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{24}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{24}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{24} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

5. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной. Это означает, что ее основаниями ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонние треугольники, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Также сказано, что все ребра призмы равны 1. Следовательно, треугольник $ABC$ в основании — равносторонний со сторонами $AB = BC = AC = 1$.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Таким образом, по построению $BH \perp AC$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это значит, что ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$, в том числе и высоте $BH$. Таким образом, $BH \perp AA_1$.

Мы получили, что прямая $BH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$), лежащим в плоскости $ACC_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BH$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.

Следовательно, длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Найдем длину высоты $BH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной, равной 1. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — длина стороны треугольника.
Подставив $a=1$, получаем:
$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно найти $BH$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BHC$. В равностороннем треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$, и $HC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$.
Из $\triangle BHC$:
$BH^2 = BC^2 - HC^2$
$BH^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$BH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

По условию, $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит квадрат $ABCD$, а вершина $S$ проецируется в центр этого квадрата. Обозначим центр квадрата как точку $O$. Искомое расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ (плоскости основания) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на эту плоскость, то есть длина высоты пирамиды $SO$.

По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, стороны основания $AB = BC = CD = DA = 1$, и боковые ребра $SA = SB = SC = SD = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. Катет $SO$ является высотой пирамиды, гипотенуза $SC$ — боковым ребром ($SC = 1$), а второй катет $OC$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ основания. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора имеем:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Отсюда, $AC = \sqrt{2}$.

Так как $O$ — центр квадрата, то $O$ является серединой диагонали $AC$. Поэтому:$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $SOC$. По теореме Пифагора:$SO^2 + OC^2 = SC^2$.Подставим известные значения и найдем $SO$:$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$$SO^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ основанием является квадрат $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее вершина $S$ проецируется в центр основания — точку $O$, которая является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1.
Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим диагонали основания пирамиды. В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $BD \perp AC$.
Так как $SO$ — высота правильной пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $BD$. Таким образом, $SO \perp BD$.
Получаем, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $SO$), лежащим в плоскости $SAC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $SAC$.
Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$ и проходит через точку $B$, то отрезком, определяющим расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$, является отрезок $BO$ (так как $O$ — это точка пересечения прямой $BD$ и плоскости $SAC$).
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BO$.
Точка $O$ — центр квадрата, она делит диагонали пополам. Значит, $BO = \frac{1}{2}BD$.
Длину диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной 1 найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
Отсюда $BD = \sqrt{2}$.
Теперь вычислим длину отрезка $BO$:
$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида. По условию, все ее ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB=1$, а боковые ребра $SA=SB=SC=SD=1$. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$, обозначим это расстояние как $\rho(B, ACE)$.

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $BACE$. Его объем $V_{BACE}$ можно вычислить двумя способами.

С одной стороны, объем тетраэдра равен одной трети произведения площади основания на высоту. Если принять треугольник $ACE$ за основание, а искомое расстояние $\rho(B, ACE)$ за высоту $h_B$, опущенную из вершины $B$, то объем будет равен:$V_{BACE} = \frac{1}{3} S_{ACE} \cdot \rho(B, ACE)$.

С другой стороны, тот же объем можно вычислить, приняв за основание треугольник $ABC$, а за высоту — перпендикуляр, опущенный из вершины $E$ на плоскость основания $ABC$. Обозначим эту высоту как $h_E$.$V_{BACE} = V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$.

Найдем величины, входящие во вторую формулу.Площадь треугольника $ABC$ составляет половину площади квадрата $ABCD$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем высоту пирамиды $SO$, где $O$ - центр основания (точка пересечения диагоналей). Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда половина диагонали $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из прямоугольного треугольника $SOA$ (так как $SO$ - высота, то $SO \perp AO$) по теореме Пифагора находим высоту $SO$:$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точка $E$ является серединой ребра $SB$. Высота $h_E$ из точки $E$ на плоскость $ABC$ будет равна половине высоты пирамиды $SO$ (это следует из подобия треугольников, образованных ребром $SB$, высотой $SO$ и их проекциями).$h_E = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра $BACE$:$V_{BACE} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{24}$.

Далее, для использования первой формулы объема, нам нужно найти площадь треугольника $ACE$. Найдем длины его сторон.Сторона $AC$ — диагональ квадрата в основании, поэтому $AC = \sqrt{2}$.Стороны $AE$ и $CE$ равны, так как треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ являются равными равносторонними треугольниками (все их стороны равны 1). В этих треугольниках отрезки $AE$ и $CE$ являются медианами, проведенными к сторонам $SB$ и $CB$ соответственно.Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:$AE = CE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\triangle ACE$ — равнобедренный с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $AE = CE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $EM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AC$, и $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AME$ по теореме Пифагора находим высоту $EM$:$EM = \sqrt{AE^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.Площадь треугольника $ACE$ равна:$S_{ACE} = \frac{1}{2} AC \cdot EM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Наконец, приравняем два выражения для объема $V_{BACE}$ и найдем искомое расстояние $\rho(B, ACE)$:$\frac{1}{3} S_{ACE} \cdot \rho(B, ACE) = V_{BACE}$$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24}$$\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24}$$\rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$