Страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

По условию задачи дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

Плоскость $DEE_1$ содержит ребро основания $DE$ и боковое ребро $EE_1$. Так как призма является правильной (и, следовательно, прямой), боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Если прямая ($EE_1$) перпендикулярна плоскости (основания), то любая плоскость, проходящая через эту прямую (в нашем случае плоскость $DEE_1$), также будет перпендикулярна исходной плоскости (основанию).

Итак, плоскость $DEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку плоскость $DEE_1$ перпендикулярна плоскости основания, перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $DEE_1$ будет полностью лежать в плоскости основания $ABCDEF$. Этот перпендикуляр будет опущен из точки $B$ на линию пересечения двух плоскостей, то есть на прямую $DE$.

Таким образом, исходная трехмерная задача сводится к двумерной задаче: найти расстояние от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $DE$, в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AB$, параллельна прямой, содержащей сторону $DE$.

Расстояние от точки $B$, лежащей на прямой $AB$, до параллельной ей прямой $DE$ равно расстоянию между этими двумя параллельными прямыми.

Это расстояние можно вычислить как сумму расстояний от центра шестиугольника $O$ до каждой из этих прямых. Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемом. Апофем правильного шестиугольника со стороной $a$ равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку сторона шестиугольника $a = 1$, апофем равен:$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Прямые $AB$ и $DE$ находятся по разные стороны от центра шестиугольника. Поэтому расстояние между ними равно удвоенному апофему:$d = 2 \cdot h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $EFF_1$.

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Пусть $d$ — искомое расстояние от точки B до плоскости $EFF_1$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной. Это означает, что её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники, а боковые рёбра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований. Все рёбра призмы равны 1, значит, сторона основания $AB=1$ и высота призмы $AA_1=1$.

Плоскость $EFF_1$ проходит через точки E, F и $F_1$. Так как $E, F, F_1, E_1$ образуют боковую грань, плоскость $EFF_1$ совпадает с плоскостью этой грани, то есть с плоскостью $EFF_1E_1$.

Поскольку призма прямая, её боковая грань $EFF_1E_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки B, лежащей в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $EFF_1E_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки B на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $EFF_1E_1$ является прямая $EF$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой $EF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Стороны $BC$ и $EF$ являются противолежащими, поэтому $BC \parallel EF$.

Расстояние от точки B, лежащей на прямой $BC$, до прямой $EF$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $EF$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся свойством центра правильного шестиугольника. Пусть O — центр шестиугольника $ABCDEF$. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $EF$ равно сумме перпендикуляров, опущенных из центра O на эти стороны.

Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемой. Рассмотрим треугольник $OBC$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Так как $BC=1$, то $OB = OC = 1$. Таким образом, треугольник $OBC$ является равносторонним со стороной 1. Его высота, опущенная из вершины O на сторону $BC$, и есть искомая апофема. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $OBC$ с $a=1$ высота (апофема) равна $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это расстояние от центра O до прямой $BC$.

Аналогично, расстояние от центра O до прямой $EF$ также равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку прямые $BC$ и $EF$ лежат по разные стороны от центра O, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой из прямых:

$d = \rho(BC, EF) = \rho(O, BC) + \rho(O, EF) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$.

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

По условию задачи, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это означает, что основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$. Плоскость $CDD_1$ является боковой гранью призмы. Так как призма прямая, боковая грань $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Поскольку плоскость $CDD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, то перпендикуляр из точки $B$ (которая лежит в плоскости основания) на плоскость $CDD_1$ также будет лежать в плоскости основания $ABCDEF$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $B$ до прямой $CD$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны. Величина внутреннего угла вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ – число сторон. Для шестиугольника:

$\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $CD$, опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую, содержащую отрезок $CD$. Так как угол $\angle BCD = 120^\circ$ является тупым, основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $DC$ за точку $C$.

Рассмотрим треугольник $BCH$. Он является прямоугольным, так как $BH \perp CH$. Угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCD$, следовательно:

$\angle BCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ гипотенуза $BC$ является стороной шестиугольника, и ее длина равна 1. Катет $BH$ – это искомое расстояние. Найдем его, используя определение синуса:

$\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$

$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

В условии задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) имеют длину 1 и перпендикулярны основаниям.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$. Эта плоскость проходит через точки $A$, $F$ и $F_1$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AF$. Следовательно, грань $AFF_1A_1$ является прямоугольником. Плоскость $AFF_1$ совпадает с плоскостью этой боковой грани.

Поскольку боковая грань $AFF_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, расстояние от любой точки плоскости основания до плоскости грани $AFF_1A_1$ равно расстоянию от этой точки до прямой пересечения этих плоскостей. Прямой пересечения является линия $AF$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $ABF$, который лежит в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ все стороны равны 1, поэтому $AB=1$ и $AF=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Следовательно, угол $\angle FAB = 120^\circ$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ — это высота $h$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AF$ в треугольнике $ABF$.

Найдем площадь треугольника $ABF$ по формуле площади через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AF \cdot \sin(\angle FAB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно вычислить через основание $AF$ и высоту $h$, опущенную на него:

$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot h$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $h$:

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Решая это уравнение, получаем:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

13. По условию, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Плоскость $(CFF_1)$ проходит через прямую $FF_1$, следовательно, плоскость $(CFF_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до плоскости $(CFF_1)$, перпендикулярной основанию, равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $(CFF_1)$ и $(ABC)$ является прямая $CF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой $CF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть $OB = OC = OF = 1$. Кроме того, все треугольники с вершиной в центре и стороной шестиугольника в качестве основания (например, $\triangle OBC$) являются равносторонними, так как все их стороны равны 1.

Угол между смежными отрезками, соединяющими центр с вершинами, равен $60^\circ$. Угол $\angle COF = \angle COD + \angle DOE + \angle EOF = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $C, O, F$ лежат на одной прямой, и $CF$ является большой диагональю шестиугольника. Длина этой диагонали $CF = CO + OF = 1 + 1 = 2$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CF$ введем систему координат на плоскости основания. Поместим начало координат в центр шестиугольника $O(0, 0)$. Направим ось абсцисс вдоль прямой $CF$. Тогда вершины $C$ и $F$ будут иметь координаты $C(-1, 0)$ и $F(1, 0)$.

Найдем координаты точки $B(x, y)$. Мы знаем, что $OB=1$ и $BC=1$. Запишем эти условия в виде уравнений:
1. Расстояние от $B(x,y)$ до $O(0,0)$ равно 1: $x^2 + y^2 = 1^2 = 1$.
2. Расстояние от $B(x,y)$ до $C(-1,0)$ равно 1: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 1^2 \implies (x+1)^2 + y^2 = 1$.

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим $y^2 = 1 - x^2$ и подставим во второе:
$(x+1)^2 + (1 - x^2) = 1$
$x^2 + 2x + 1 + 1 - x^2 = 1$
$2x + 2 = 1$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем $y$:
$y^2 = 1 - x^2 = 1 - (-\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Исходя из расположения вершин в шестиугольнике ($A,B,C,...$ против часовой стрелки), точка $B$ находится в полуплоскости с $y > 0$. Таким образом, координаты точки $B$ равны $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CF$ совпадает с осью абсцисс, ее уравнение $y=0$. Расстояние от точки $B(x_0, y_0)$ до прямой $y=0$ равно $|y_0|$. В нашем случае расстояние равно $|\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. По условию, все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и боковое ребро (высота призмы, например $AA_1$) также равно 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

Плоскость $ADD_1$ проходит через прямую $AD$, лежащую в плоскости основания $ABCDEF$, и боковое ребро $DD_1$. Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости $ABCDEF$.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости взаимно перпендикулярны. Поскольку плоскость $ADD_1$ проходит через прямую $DD_1$, которая перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, то плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Так как плоскость $ADD_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, искомый перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $ADD_1$ будет лежать в плоскости основания. Его длина будет равна расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих двух плоскостей, то есть до прямой $AD$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: найти расстояние от вершины $B$ до большой диагонали $AD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1.

Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ – его центр. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре $O$. Треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, и его стороны равны стороне шестиугольника, то есть $OA = OB = AB = 1$.

Большая диагональ $AD$ проходит через центр шестиугольника $O$. Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ есть длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на прямую $AD$ (или, что то же самое, на сторону $AO$ в треугольнике $\triangle OAB$).

Высота $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $\triangle OAB$ сторона $a = 1$. Следовательно, искомое расстояние равно: $BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ACC_1$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра призмы равны 1, то есть сторона основания и боковое ребро равны 1.

Плоскость $ACC_1$ проходит через диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$. Так как призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $ACC_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $ACC_1$ является прямая $AC$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $AC$ в плоскости основания, то есть к нахождению высоты $BH$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в плоскости основания. Стороны $AB$ и $BC$ являются сторонами правильного шестиугольника, поэтому $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ является внутренним углом правильного шестиугольника, величина которого вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ для $n=6$.

$\angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=BC$). Высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является также биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 1$ и угол $\angle ABH = 60^\circ$. Искомое расстояние равно длине катета $BH$.

Найдем длину катета $BH$ по определению косинуса:

$BH = AB \cdot \cos(\angle ABH) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFF_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$, перпендикулярно плоскости основания. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$. Пусть вершина $D$ лежит на отрицательной полуоси $Ox$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны 1, ее основание — это правильный шестиугольник со стороной 1, вписанный в окружность радиуса $R=1$. Высота призмы также равна 1. Найдем координаты необходимых для решения точек: $B, D, F, F_1$.

Координаты вершин основания можно найти по формуле $(R\cos\alpha, R\sin\alpha, 0)$. Если $D$ соответствует углу $180^\circ$, то:

Точка $D$ имеет координаты $(-1, 0, 0)$.

Вершина $F$ смещена от $D$ на $-120^\circ$ (или $+240^\circ$), поэтому ее угол $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Координаты $F(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0)$, то есть $F(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Погодите, это координаты точки B. Угол для F будет $180-60-60=60$. Нет, это неверно. Если D на $180^\circ$, то E на $240^\circ$, F на $300^\circ$ (или $-60^\circ$), A на $0^\circ$, B на $60^\circ$, C на $120^\circ$.

Давайте используем стандартное расположение, где вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$. Тогда углы для вершин будут: $A: 0^\circ, B: 60^\circ, C: 120^\circ, D: 180^\circ, E: 240^\circ, F: 300^\circ$.

Координаты необходимых точек:

Точка $B$: $(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Точка $D$: $(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Точка $F$: $(\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Точка $F_1$ лежит над точкой $F$ на высоте 1, поэтому ее координаты $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $D, F, F_1$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{DF}$ и $\vec{FF_1}$.

$\vec{DF} = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

$\vec{FF_1} = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DFF_1$ перпендикулярен этим векторам, найдем его как векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DF} \times \vec{FF_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \vec{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0) + \vec{k}(0) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, 0)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Умножим $\vec{n}$ на $-2$, чтобы упростить: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали:

$\sqrt{3}x + 3y + 0z + D = 0$.

Для нахождения коэффициента $D$ подставим в уравнение координаты одной из точек плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$\sqrt{3}(-1) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow D = \sqrt{3}$.

Уравнение плоскости $DFF_1$: $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$. Разделим все члены на $\sqrt{3}$:

$x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.

Искомое расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения $A=1, B=\sqrt{3}, C=0, D=1$ и координаты точки $B(x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0)$:

$\rho = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

1. Докажем перпендикулярность плоскостей.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. Тогда треугольники $OAB$, $OBC$, ..., $OFA$ являются равносторонними со стороной 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, например, $\angle FAB = 120^\circ$. Угол $\angle OAB = 60^\circ$ (так как $\triangle OAB$ равносторонний). Треугольник $AFE$ является равнобедренным ($AF=EF=1$), и угол $\angle AFE = 120^\circ$. Углы при основании $AE$ равны $\angle FAE = \angle FEA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

Тогда угол $\angle EAB = \angle FAB - \angle FAE = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что ребро $AE$ перпендикулярно ребру $AB$, то есть $AE \perp AB$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp AE$.

Так как прямая $AE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AA_1$ в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$, то прямая $AE$ перпендикулярна всей этой плоскости: $AE \perp (AA_1B_1B)$.

Плоскость $AED_1$ проходит через прямую $AE$, которая перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$. Следовательно, плоскость $AED_1$ перпендикулярна плоскости $AA_1B_1B$.

2. Сведение задачи к планиметрической.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости $AA_1B_1B$, до перпендикулярной ей плоскости $AED_1$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей. Найдем эту линию пересечения.

Очевидно, что точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Найдем еще одну общую точку. Докажем, что точка $B_1$ также лежит в плоскости $AED_1$. Для этого покажем, что вектор $\vec{AB_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AD_1}$.

Введем систему координат с центром в точке $O$ (центр нижнего основания) и осью $Ox$, проходящей через точки $A$ и $D$. Тогда вершины имеют координаты: $A(-1, 0, 0)$, $B(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(1, 0, 0)$, $E(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Соответствующие точки верхнего основания имеют $z$-координату 1: $B_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1(1, 0, 1)$.

Найдем векторы с началом в точке A:

$\vec{AE} = E - A = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (2, 0, 1)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Проверим, существуют ли такие числа $k$ и $m$, что $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AE} + m \cdot \vec{AD_1}$:

$(1/2, \sqrt{3}/2, 1) = k(3/2, -\sqrt{3}/2, 0) + m(2, 0, 1) = (3k/2 + 2m, -k\sqrt{3}/2, m)$

Из равенства $z$-координат следует, что $m=1$.

Из равенства $y$-координат: $\sqrt{3}/2 = -k\sqrt{3}/2 \implies k = -1$.

Проверим $x$-координаты: $1/2 = 3(-1)/2 + 2(1) = -3/2 + 2 = 1/2$. Равенство выполняется.

Таким образом, $\vec{AB_1} = -\vec{AE} + \vec{AD_1}$, что доказывает, что векторы компланарны, и точка $B_1$ лежит в плоскости $AED_1$.

Следовательно, линия пересечения плоскостей $(AED_1)$ и $(AA_1B_1B)$ — это прямая $AB_1$.

3. Вычисление расстояния.

Задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $AB_1$ в плоскости квадрата $AA_1B_1B$ со стороной 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ с катетами $AB = 1$ и $BB_1 = 1$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AB_1$.

Длина гипотенузы $AB_1$ по теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Площадь треугольника $ABB_1$ можно вычислить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$\frac{1}{2} \sqrt{2} h = \frac{1}{2} \implies h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до плоскости $(CEF_1)$ воспользуемся методом проекций. Идея состоит в том, чтобы найти плоскость, перпендикулярную плоскости $(CEF_1)$, спроецировать на нее всю конструкцию и свести трехмерную задачу к двумерной.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через главную диагональ основания $AD$ и боковые ребра $AA_1$ и $DD_1$. Обозначим эту плоскость $\pi=(ADD_1A_1)$. Эта плоскость является плоскостью симметрии для призмы.

2. Докажем, что плоскость $\alpha=(CEF_1)$ перпендикулярна плоскости $\pi$.В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике малая диагональ $CE$ перпендикулярна большой диагонали $AD$. Таким образом, $CE \perp AD$.Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой в плоскости основания, в том числе и $CE$. Итак, $CE \perp AA_1$.Поскольку прямая $CE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости $\pi$, она перпендикулярна всей плоскости $\pi$.Плоскость $\alpha=(CEF_1)$ содержит прямую $CE$, которая перпендикулярна плоскости $\pi$. Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\pi$.

3. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от проекции точки $B$ на плоскость $\pi$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\pi$.Обозначим проекцию точки $B$ на плоскость $\pi$ как $B'$.Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\pi$ как $L$.Искомое расстояние равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $L$ в плоскости $\pi$.

4. Введем на плоскости $\pi$ прямоугольную систему координат $(x, z)$. Пусть центр основания $O$ (середина отрезка $AD$) будет началом координат $O(0,0)$. Ось $x$ направим вдоль луча $OA$, а ось $z$ — вдоль луча $OO_1$.Так как все ребра призмы равны 1, сторона шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$. Большая диагональ $AD = 2a = 2$.Координаты вершин прямоугольника $ADD_1A_1$ в этой системе: $A(1,0)$, $D(-1,0)$, $A_1(1,1)$, $D_1(-1,1)$.

5. Найдем координаты точки $B'$ — проекции точки $B$ на плоскость $\pi$.Точка $B'$ лежит на отрезке $AD$. Ее координата $x$ равна длине проекции отрезка $OB$ на ось $Ox$. В шестиугольнике $\triangle AOB$ равносторонний, $\angle AOB = 60^\circ$. Проекция $B$ на $AD$ — это основание высоты треугольника $AOB$, опущенной из вершины $B$. Эта точка делит $OA$ пополам. То есть $x$-координата точки $B'$ равна $OA/2 = 1/2$. Так как $B'$ лежит на оси $x$, ее $z$-координата равна 0. Итак, $B' = (1/2, 0)$.

6. Найдем прямую $L$, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha=(CEF_1)$ и $\pi$. Эта прямая лежит в плоскости $\pi$ и определяется проекциями точек $C$, $E$ и $F_1$ на эту плоскость.Проекция точки $C$ на плоскость $\pi$ (то есть на прямую $AD$) — это точка $C'$ на отрезке $OD$. Ее координата $x$ равна $-|OC|\cos(\angle COD) = -1 \cdot \cos(60^\circ) = -1/2$. Итак, $C' = (-1/2, 0)$.Проекция точки $E$ на плоскость $\pi$ совпадает с проекцией точки $C$, то есть $E' = (-1/2, 0)$.Проекция точки $F_1$ на плоскость $\pi$ — это точка $F'_1$. Ее проекция на плоскость основания ($z=0$) совпадает с проекцией точки $B$ (точка с $x=1/2$). Так как $F_1$ находится в верхнем основании, ее $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1. Итак, $F'_1 = (1/2, 1)$.Прямая $L$ проходит через точки $C'(-1/2, 0)$ и $F'_1(1/2, 1)$.

7. Составим уравнение прямой $L$ в системе координат $(x, z)$, проходящей через точки $C'(-1/2, 0)$ и $F'_1(1/2, 1)$.Наклон (угловой коэффициент) прямой: $k = \frac{z_2 - z_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{1/2 - (-1/2)} = \frac{1}{1} = 1$.Уравнение прямой: $z - z_1 = k(x - x_1) \Rightarrow z - 0 = 1(x - (-1/2)) \Rightarrow z = x + 1/2$.В общем виде уравнение прямой $L$ таково: $x - z + 1/2 = 0$ или $2x - 2z + 1 = 0$.

8. Найдем расстояние от точки $B'(1/2, 0)$ до прямой $L: x - z + 1/2 = 0$.Используем формулу расстояния от точки $(x_0, z_0)$ до прямой $Ax+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+C^2}}$.В нашем случае $(x_0, z_0) = (1/2, 0)$, а уравнение прямой $x - z + 1/2 = 0$ ($A=1, C=-1, D=1/2$).$d = \frac{|1 \cdot (1/2) - 1 \cdot 0 + 1/2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $(CEF_1)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AB$ и $CD_1$ являются скрещивающимися, поскольку они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся следующим методом: найдем плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой, а затем найдем расстояние от второй прямой до этой плоскости.

1. Рассмотрим прямую $AB$ и прямую $DC$. Они параллельны, так как лежат на противоположных сторонах квадрата $ABCD$ в основании куба ($AB \parallel DC$).

2. Прямая $DC$ лежит в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Обозначим эту плоскость как $(CDD_1)$.

3. Поскольку прямая $AB$ параллельна прямой $DC$, а $DC$ принадлежит плоскости $(CDD_1)$, то прямая $AB$ параллельна всей плоскости $(CDD_1)$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

4. Искомая прямая $CD_1$ также лежит в плоскости $(CDD_1)$.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $(CDD_1)$.

6. Выберем на прямой $AB$ точку $A$ и найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $(CDD_1)$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к этой плоскости.

7. Рассмотрим ребро $AD$.
- Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $DC$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AD \perp DC$).
- Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $DD_1$, так как грань $ADD_1A_1$ — квадрат ($AD \perp DD_1$).

8. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DC$ и $DD_1$) в плоскости $(CDD_1)$, она перпендикулярна всей этой плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

9. Следовательно, длина ребра $AD$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $(CDD_1)$, а значит, и расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

10. По условию, куб является единичным, поэтому длина его ребра равна 1. Таким образом, $AD = 1$.

Ответ: 1.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AB и DC₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них: геометрический и координатный.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1. Прямая AB принадлежит плоскости основания ABCD. В этой же плоскости лежит ребро DC. Поскольку ABCD является квадратом, прямые AB и DC параллельны ($AB \parallel DC$).

2. Рассмотрим плоскость, содержащую прямую DC₁. Так как прямая AB параллельна прямой DC, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая AB параллельна плоскости задней грани куба (DCC₁D₁), потому что эта плоскость содержит прямую DC.

3. Таким образом, искомое расстояние между прямыми AB и DC₁ равно расстоянию от прямой AB до плоскости (DCC₁D₁), в которой лежит прямая DC₁.

4. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из любой точки прямой к этой плоскости. Выберем на прямой AB точку A.

5. Найдем расстояние от точки A до плоскости (DCC₁D₁). Ребро AD перпендикулярно ребру DC (так как грань ABCD — квадрат). Ребро AD также перпендикулярно ребру DD₁ (так как грань ADD₁A₁ — квадрат). Прямые DC и DD₁ пересекаются и лежат в плоскости (DCC₁D₁).

6. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AD перпендикулярна всей плоскости (DCC₁D₁). Это означает, что длина отрезка AD является расстоянием от точки A до плоскости (DCC₁D₁).

7. По условию, куб является единичным, поэтому длина его ребра равна 1. Следовательно, $AD = 1$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC и ось Oz вдоль ребра DD₁.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:
A(1, 0, 0)
B(1, 1, 0)
D(0, 0, 0)
C₁(0, 1, 1)

Определим наши прямые через точки и направляющие векторы:
Прямая AB проходит через точку A(1, 0, 0) и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$.
Прямая DC₁ проходит через точку D(0, 0, 0) и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DC_1} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Расстояние $\rho$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1$ и $M_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:
$\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

В нашем случае возьмем $M_1 = A(1, 0, 0)$ и $M_2 = D(0, 0, 0)$. Тогда вектор, соединяющий точки на прямых, это $\vec{M_2M_1} = \vec{DA} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.

1. Вычислим векторное произведение направляющих векторов:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1\vec{i} - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (1, 0, 0)$.

2. Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(1, 0, 0)| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

3. Найдем смешанное произведение векторов (скалярное произведение $\vec{DA}$ и $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):
$\vec{DA} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1, 0, 0) \cdot (1, 0, 0) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$.

4. Подставим найденные значения в формулу для расстояния:
$\rho = \frac{|1|}{1} = 1$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$ в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся одним из методов стереометрии. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую и параллельной первой.

Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани куба $(A_1B_1C_1)$.

Прямая $AB$ (ребро нижней грани) параллельна прямой $A_1B_1$ (ребро верхней грани), так как $ABB_1A_1$ — это квадрат. Поскольку прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$, то и вся прямая $AB$ параллельна этой плоскости по признаку параллельности прямой и плоскости.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Так как прямая $AB$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$, то расстояние от любой точки прямой $AB$ до этой плоскости будет одинаковым. Выберем точку $A$ на прямой $AB$ для удобства.

Расстояние от точки $A$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к этой плоскости. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $(A_1B_1C_1)$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $A_1B_1$ и $A_1D_1$. Следовательно, длина ребра $AA_1$ и есть искомое расстояние.

По условию, куб является единичным, значит, длина его ребра равна 1. Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 1.

Также можно отметить, что отрезок $AA_1$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $A_1C_1$. Он перпендикулярен $AB$ (как смежные ребра в квадрате $ABB_1A_1$) и перпендикулярен $A_1C_1$ (поскольку он перпендикулярен всей плоскости $(A_1B_1C_1)$, в которой лежит $A_1C_1$). Длина этого общего перпендикуляра равна 1.

Ответ: 1

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1D_1$ в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся методом, основанным на определении расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, которая проходит через другую прямую и параллельна первой.

Рассмотрим плоскость верхней грани куба, $(A_1B_1C_1)$. Прямая $B_1D_1$, будучи диагональю этой грани, целиком лежит в данной плоскости.

Теперь рассмотрим прямую $AB$. Эта прямая является ребром нижней грани и параллельна ребру верхней грани $A_1B_1$, так как грань $ABB_1A_1$ является квадратом. Поскольку прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$, то, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AB$ параллельна всей плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Таким образом, мы установили, что прямая $AB$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$, которая содержит прямую $B_1D_1$. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равно расстоянию от прямой $AB$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$.

Так как прямая $AB$ параллельна плоскости $(A_1B_1C_1)$, расстояние от любой точки прямой $AB$ до этой плоскости будет одинаковым. Для удобства вычислений выберем точку $A$, принадлежащую прямой $AB$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $(A_1B_1C_1)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. В кубе таким перпендикуляром является боковое ребро $AA_1$.

По условию задачи куб является единичным, а это значит, что длина каждого его ребра равна 1. Соответственно, длина ребра $AA_1$ равна 1.

Ответ: 1.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите рассто...

5. Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1. Требуется найти расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Сначала определим взаимное расположение прямых. Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$. В свою очередь, прямая $CD$ параллельна прямой $C_1D_1$, так как они являются соответствующими рёбрами оснований куба. Следовательно, по свойству транзитивности, прямая $AB$ параллельна прямой $C_1D_1$ ($AB \parallel CD \parallel C_1D_1$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдём отрезок, который соединяет данные прямые и перпендикулярен им обеим. Таким отрезком является диагональ боковой грани $BC_1$.

Докажем, что $BC_1$ перпендикулярен прямым $AB$ и $C_1D_1$.
1. Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$, так как ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB \perp BC$ (как стороны квадрата) и $AB \perp BB_1$ (так как боковое ребро перпендикулярно основанию). Так как отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $AB \perp BC_1$.
2. Прямая $C_1D_1$ также перпендикулярна плоскости грани $BCC_1B_1$. Это следует из того, что ребро $C_1D_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $C_1D_1 \perp C_1B_1$ (как стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$) и $C_1D_1 \perp CC_1$ (так как стороны квадрата $CDD_1C_1$). Поскольку отрезок $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $C_1D_1 \perp BC_1$.

Так как отрезок $BC_1$ соединяет точку $B$ на прямой $AB$ и точку $C_1$ на прямой $C_1D_1$ и перпендикулярен обеим прямым, его длина и есть искомое расстояние.

Найдём длину отрезка $BC_1$. Этот отрезок является диагональю грани $BCC_1B_1$, которая представляет собой квадрат со стороной 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$, где $\angle BCC_1 = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$
$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$BC_1 = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AB и CB₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ можно использовать геометрический метод, основанный на проекциях.

Прямые AB и CB₁ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Прямая AB — это ребро нижнего основания куба, а прямая CB₁ — диагональ боковой грани BCC₁B₁.

Рассмотрим плоскость боковой грани (BCC₁B₁). Прямая CB₁ целиком лежит в этой плоскости.

Теперь определим, как расположена прямая AB относительно плоскости (BCC₁B₁). По свойствам куба, ребро AB перпендикулярно всей плоскости грани BCC₁B₁, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости:

1. Ребро AB перпендикулярно ребру BC, так как основание ABCD является квадратом ($AB \perp BC$).

2. Ребро AB перпендикулярно ребру BB₁, так как боковая грань ABB₁A₁ перпендикулярна основанию ABCD, а значит, ребро BB₁ перпендикулярно всей плоскости основания, включая прямую AB ($AB \perp BB_1$).

Поскольку прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BB₁ в плоскости (BCC₁B₁), она перпендикулярна и самой плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми, в случае когда одна из них перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую, равно расстоянию от точки их пересечения до второй прямой. Прямая AB пересекает перпендикулярную ей плоскость (BCC₁B₁) в точке B. Следовательно, искомое расстояние между прямыми AB и CB₁ равно расстоянию от точки B до прямой CB₁, которое мы можем найти в плоскости грани BCC₁B₁.

Таким образом, стереометрическая задача сводится к планиметрической задаче: найти в квадрате BCC₁B₁ со стороной 1 расстояние от вершины B до диагонали CB₁.

Это расстояние является высотой $h$, опущенной из вершины прямого угла B в прямоугольном треугольнике BCB₁ на гипотенузу CB₁.

Катеты этого треугольника равны длине ребра куба: $BC=1$ и $BB_1=1$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы CB₁: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника BCB₁ можно вычислить двумя способами. С одной стороны, через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

С другой стороны, через гипотенузу и высоту $h$, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение для $h$: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2: $\sqrt{2} \cdot h = 1$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми AB и CB₁ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$