Номер 6, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми AB и CB₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ можно использовать геометрический метод, основанный на проекциях.

Прямые AB и CB₁ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Прямая AB — это ребро нижнего основания куба, а прямая CB₁ — диагональ боковой грани BCC₁B₁.

Рассмотрим плоскость боковой грани (BCC₁B₁). Прямая CB₁ целиком лежит в этой плоскости.

Теперь определим, как расположена прямая AB относительно плоскости (BCC₁B₁). По свойствам куба, ребро AB перпендикулярно всей плоскости грани BCC₁B₁, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости:

1. Ребро AB перпендикулярно ребру BC, так как основание ABCD является квадратом ($AB \perp BC$).

2. Ребро AB перпендикулярно ребру BB₁, так как боковая грань ABB₁A₁ перпендикулярна основанию ABCD, а значит, ребро BB₁ перпендикулярно всей плоскости основания, включая прямую AB ($AB \perp BB_1$).

Поскольку прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BB₁ в плоскости (BCC₁B₁), она перпендикулярна и самой плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми, в случае когда одна из них перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую, равно расстоянию от точки их пересечения до второй прямой. Прямая AB пересекает перпендикулярную ей плоскость (BCC₁B₁) в точке B. Следовательно, искомое расстояние между прямыми AB и CB₁ равно расстоянию от точки B до прямой CB₁, которое мы можем найти в плоскости грани BCC₁B₁.

Таким образом, стереометрическая задача сводится к планиметрической задаче: найти в квадрате BCC₁B₁ со стороной 1 расстояние от вершины B до диагонали CB₁.

Это расстояние является высотой $h$, опущенной из вершины прямого угла B в прямоугольном треугольнике BCB₁ на гипотенузу CB₁.

Катеты этого треугольника равны длине ребра куба: $BC=1$ и $BB_1=1$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы CB₁: $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника BCB₁ можно вычислить двумя способами. С одной стороны, через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

С другой стороны, через гипотенузу и высоту $h$, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение для $h$: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2: $\sqrt{2} \cdot h = 1$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми AB и CB₁ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$