Номер 1, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямые $AB$ и $CD_1$ являются скрещивающимися, поскольку они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся следующим методом: найдем плоскость, которая содержит одну из прямых и параллельна другой, а затем найдем расстояние от второй прямой до этой плоскости.

1. Рассмотрим прямую $AB$ и прямую $DC$. Они параллельны, так как лежат на противоположных сторонах квадрата $ABCD$ в основании куба ($AB \parallel DC$).

2. Прямая $DC$ лежит в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Обозначим эту плоскость как $(CDD_1)$.

3. Поскольку прямая $AB$ параллельна прямой $DC$, а $DC$ принадлежит плоскости $(CDD_1)$, то прямая $AB$ параллельна всей плоскости $(CDD_1)$ по признаку параллельности прямой и плоскости.

4. Искомая прямая $CD_1$ также лежит в плоскости $(CDD_1)$.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $(CDD_1)$.

6. Выберем на прямой $AB$ точку $A$ и найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $(CDD_1)$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к этой плоскости.

7. Рассмотрим ребро $AD$.
- Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $DC$, так как грань $ABCD$ — квадрат ($AD \perp DC$).
- Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $DD_1$, так как грань $ADD_1A_1$ — квадрат ($AD \perp DD_1$).

8. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DC$ и $DD_1$) в плоскости $(CDD_1)$, она перпендикулярна всей этой плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

9. Следовательно, длина ребра $AD$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $(CDD_1)$, а значит, и расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

10. По условию, куб является единичным, поэтому длина его ребра равна 1. Таким образом, $AD = 1$.

Ответ: 1.