Номер 12, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

В условии задачи дана правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) имеют длину 1 и перпендикулярны основаниям.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$. Эта плоскость проходит через точки $A$, $F$ и $F_1$. Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AF$. Следовательно, грань $AFF_1A_1$ является прямоугольником. Плоскость $AFF_1$ совпадает с плоскостью этой боковой грани.

Поскольку боковая грань $AFF_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, расстояние от любой точки плоскости основания до плоскости грани $AFF_1A_1$ равно расстоянию от этой точки до прямой пересечения этих плоскостей. Прямой пересечения является линия $AF$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $ABF$, который лежит в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ все стороны равны 1, поэтому $AB=1$ и $AF=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Следовательно, угол $\angle FAB = 120^\circ$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ — это высота $h$, проведенная из вершины $B$ к стороне $AF$ в треугольнике $ABF$.

Найдем площадь треугольника $ABF$ по формуле площади через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AF \cdot \sin(\angle FAB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно вычислить через основание $AF$ и высоту $h$, опущенную на него:

$S_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot h$.

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти $h$:

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Решая это уравнение, получаем:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.