Номер 10, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $EFF_1$.

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Пусть $d$ — искомое расстояние от точки B до плоскости $EFF_1$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной. Это означает, что её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники, а боковые рёбра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований. Все рёбра призмы равны 1, значит, сторона основания $AB=1$ и высота призмы $AA_1=1$.

Плоскость $EFF_1$ проходит через точки E, F и $F_1$. Так как $E, F, F_1, E_1$ образуют боковую грань, плоскость $EFF_1$ совпадает с плоскостью этой грани, то есть с плоскостью $EFF_1E_1$.

Поскольку призма прямая, её боковая грань $EFF_1E_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки B, лежащей в плоскости основания, до перпендикулярной ей плоскости $EFF_1E_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки B на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $EFF_1E_1$ является прямая $EF$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой $EF$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Стороны $BC$ и $EF$ являются противолежащими, поэтому $BC \parallel EF$.

Расстояние от точки B, лежащей на прямой $BC$, до прямой $EF$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $EF$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся свойством центра правильного шестиугольника. Пусть O — центр шестиугольника $ABCDEF$. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $EF$ равно сумме перпендикуляров, опущенных из центра O на эти стороны.

Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемой. Рассмотрим треугольник $OBC$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника. Так как $BC=1$, то $OB = OC = 1$. Таким образом, треугольник $OBC$ является равносторонним со стороной 1. Его высота, опущенная из вершины O на сторону $BC$, и есть искомая апофема. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $OBC$ с $a=1$ высота (апофема) равна $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это расстояние от центра O до прямой $BC$.

Аналогично, расстояние от центра O до прямой $EF$ также равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку прямые $BC$ и $EF$ лежат по разные стороны от центра O, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой из прямых:

$d = \rho(BC, EF) = \rho(O, BC) + \rho(O, EF) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.