Номер 9, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

По условию задачи дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания призмы ($ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1$) являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

Плоскость $DEE_1$ содержит ребро основания $DE$ и боковое ребро $EE_1$. Так как призма является правильной (и, следовательно, прямой), боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Если прямая ($EE_1$) перпендикулярна плоскости (основания), то любая плоскость, проходящая через эту прямую (в нашем случае плоскость $DEE_1$), также будет перпендикулярна исходной плоскости (основанию).

Итак, плоскость $DEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку плоскость $DEE_1$ перпендикулярна плоскости основания, перпендикуляр из точки $B$ на плоскость $DEE_1$ будет полностью лежать в плоскости основания $ABCDEF$. Этот перпендикуляр будет опущен из точки $B$ на линию пересечения двух плоскостей, то есть на прямую $DE$.

Таким образом, исходная трехмерная задача сводится к двумерной задаче: найти расстояние от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $DE$, в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая, содержащая сторону $AB$, параллельна прямой, содержащей сторону $DE$.

Расстояние от точки $B$, лежащей на прямой $AB$, до параллельной ей прямой $DE$ равно расстоянию между этими двумя параллельными прямыми.

Это расстояние можно вычислить как сумму расстояний от центра шестиугольника $O$ до каждой из этих прямых. Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемом. Апофем правильного шестиугольника со стороной $a$ равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку сторона шестиугольника $a = 1$, апофем равен:$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Прямые $AB$ и $DE$ находятся по разные стороны от центра шестиугольника. Поэтому расстояние между ними равно удвоенному апофему:$d = 2 \cdot h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$