Номер 5, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до плоскости. Обобщающее повторение - номер 5, страница 126.

Условия.

5. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Решение.

Решение 2.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной. Это означает, что ее основаниями ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонние треугольники, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Также сказано, что все ребра призмы равны 1. Следовательно, треугольник $ABC$ в основании — равносторонний со сторонами $AB = BC = AC = 1$.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости боковой грани $ACC_1A_1$. Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Рассмотрим основание призмы — равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Таким образом, по построению $BH \perp AC$.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это значит, что ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$, в том числе и высоте $BH$. Таким образом, $BH \perp AA_1$.

Мы получили, что прямая $BH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$), лежащим в плоскости $ACC_1A_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BH$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1A_1$.

Следовательно, длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Найдем длину высоты $BH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной, равной 1. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — длина стороны треугольника.
Подставив $a=1$, получаем:
$BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно найти $BH$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BHC$. В равностороннем треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$, и $HC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$.
Из $\triangle BHC$:
$BH^2 = BC^2 - HC^2$
$BH^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$BH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$