Номер 37, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AE_1$.

Рассмотрим треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$ является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AE_1$. Найдем длины всех сторон треугольника $ABE_1$.

1. Сторона $AB$ является ребром основания призмы, и по условию ее длина равна 1. Итак, $AB=1$.

2. Сторона $AE_1$ является диагональю боковой грани $AEE_1A_1$. Эта грань является прямоугольником, так как призма прямая. Найдем длину $AE_1$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AEE_1$: $AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2$. Высота призмы $EE_1=1$. Длину диагонали основания $AE$ (которая является "короткой" диагональю шестиугольника) найдем из равнобедренного треугольника $AFE$ (где $F$ — еще одна вершина основания). В этом треугольнике стороны $AF=1$ и $FE=1$, а угол между ними $\angle AFE = 120^\circ$ (как внутренний угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов:

$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Следовательно, $AE = \sqrt{3}$. Теперь найдем длину $AE_1$:

$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$, откуда $AE_1 = 2$.

3. Сторону $BE_1$ найдем из прямоугольного треугольника $BEE_1$, где катет $EE_1=1$ (высота призмы), а второй катет $BE$ — это "длинная" диагональ основания. Длина длинной диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, то есть $BE = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$, откуда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть треугольник $ABE_1$ со сторонами $AB=1$, $AE_1=2$ и $BE_1=\sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:

$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABE_1$ является прямоугольным, причем прямой угол — это угол, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $BE_1$. Этот угол — $\angle BAE_1$.

Поскольку $\angle BAE_1 = 90^\circ$, отрезок $AB$ перпендикулярен отрезку $AE_1$. Это означает, что длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Длина ребра $AB$ по условию равна 1.

Ответ: 1.