Номер 2, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1$ найдите расстояние от точки $B$ до
плоскости $AB_1C_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ куба совпадает с началом координат, а оси $Dx$, $Dy$, $Dz$ направлены вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Так как куб единичный, его ребро равно 1. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

$D(0, 0, 0)$, $A(1, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$.

Остальные интересующие нас вершины:

$B(1, 1, 0)$ (так как $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$)

$B_1(1, 1, 1)$ (так как $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1}$)

$C_1(0, 1, 1)$ (так как $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{DD_1}$)

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1, 1, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(1, 0, 0)$, $B_1(1, 1, 1)$ и $C_1(0, 1, 1)$.

Составим уравнение плоскости $(AB_1C_1)$. Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. Для его нахождения найдем вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (a, b, c)$, который перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AB_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 1\vec{k} = (0, -1, 1)$.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид $0x - 1y + 1z + d = 0$, или $-y + z + d = 0$.

Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в уравнение координаты любой из точек, принадлежащих плоскости, например, точки $A(1, 0, 0)$:

$-(0) + 0 + d = 0 \Rightarrow d = 0$.

Итак, уравнение плоскости $(AB_1C_1)$ есть $-y + z = 0$ или $y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние $\rho$ от точки $B(x_0, y_0, z_0) = B(1, 1, 0)$ до плоскости $y - z = 0$ (где $a=0, b=1, c=-1, d=0$) по формуле:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Подставляем наши значения:

$\rho = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$