Номер 8, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до плоскости. Обобщающее повторение - номер 8, страница 126.

Условия.

8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $SABCD$ — данная правильная четырехугольная пирамида. По условию, все ее ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB=1$, а боковые ребра $SA=SB=SC=SD=1$. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$, обозначим это расстояние как $\rho(B, ACE)$.

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $BACE$. Его объем $V_{BACE}$ можно вычислить двумя способами.

С одной стороны, объем тетраэдра равен одной трети произведения площади основания на высоту. Если принять треугольник $ACE$ за основание, а искомое расстояние $\rho(B, ACE)$ за высоту $h_B$, опущенную из вершины $B$, то объем будет равен:$V_{BACE} = \frac{1}{3} S_{ACE} \cdot \rho(B, ACE)$.

С другой стороны, тот же объем можно вычислить, приняв за основание треугольник $ABC$, а за высоту — перпендикуляр, опущенный из вершины $E$ на плоскость основания $ABC$. Обозначим эту высоту как $h_E$.$V_{BACE} = V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E$.

Найдем величины, входящие во вторую формулу.Площадь треугольника $ABC$ составляет половину площади квадрата $ABCD$:$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем высоту пирамиды $SO$, где $O$ - центр основания (точка пересечения диагоналей). Диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда половина диагонали $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из прямоугольного треугольника $SOA$ (так как $SO$ - высота, то $SO \perp AO$) по теореме Пифагора находим высоту $SO$:$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точка $E$ является серединой ребра $SB$. Высота $h_E$ из точки $E$ на плоскость $ABC$ будет равна половине высоты пирамиды $SO$ (это следует из подобия треугольников, образованных ребром $SB$, высотой $SO$ и их проекциями).$h_E = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра $BACE$:$V_{BACE} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_E = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{24}$.

Далее, для использования первой формулы объема, нам нужно найти площадь треугольника $ACE$. Найдем длины его сторон.Сторона $AC$ — диагональ квадрата в основании, поэтому $AC = \sqrt{2}$.Стороны $AE$ и $CE$ равны, так как треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ являются равными равносторонними треугольниками (все их стороны равны 1). В этих треугольниках отрезки $AE$ и $CE$ являются медианами, проведенными к сторонам $SB$ и $CB$ соответственно.Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:$AE = CE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $\triangle ACE$ — равнобедренный с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $AE = CE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $EM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AC$, и $AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AME$ по теореме Пифагора находим высоту $EM$:$EM = \sqrt{AE^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.Площадь треугольника $ACE$ равна:$S_{ACE} = \frac{1}{2} AC \cdot EM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Наконец, приравняем два выражения для объема $V_{BACE}$ и найдем искомое расстояние $\rho(B, ACE)$:$\frac{1}{3} S_{ACE} \cdot \rho(B, ACE) = V_{BACE}$$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24}$$\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot \rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24}$$\rho(B, ACE) = \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$