Номер 11, страница 127 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$.

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

По условию задачи, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Это означает, что основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$. Плоскость $CDD_1$ является боковой гранью призмы. Так как призма прямая, боковая грань $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Поскольку плоскость $CDD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, то перпендикуляр из точки $B$ (которая лежит в плоскости основания) на плоскость $CDD_1$ также будет лежать в плоскости основания $ABCDEF$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $B$ до прямой $CD$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим основание призмы – правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны. Величина внутреннего угла вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ – число сторон. Для шестиугольника:

$\angle BCD = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $CD$, опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую, содержащую отрезок $CD$. Так как угол $\angle BCD = 120^\circ$ является тупым, основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $DC$ за точку $C$.

Рассмотрим треугольник $BCH$. Он является прямоугольным, так как $BH \perp CH$. Угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCD$, следовательно:

$\angle BCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ гипотенуза $BC$ является стороной шестиугольника, и ее длина равна 1. Катет $BH$ – это искомое расстояние. Найдем его, используя определение синуса:

$\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$

$BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.