Номер 4, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до плоскости. Обобщающее повторение - номер 4, страница 126.

Условия.

4. В единичном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Расстояние $h$ от точки $D$ до плоскости $ABE$ можно найти через объем тетраэдра $DABE$ и площадь его основания $ABE$ по формуле:$h = \frac{3 \cdot V_{DABE}}{S_{ABE}}$

1. Вычисление объема тетраэдра $DABE$.
Объем тетраэдра $DABE$ можно вычислить, если в качестве вершины взять точку $A$, а в качестве основания — треугольник $BDE$. Тогда формула для объема будет $V_{A-BDE} = \frac{1}{3} S_{BDE} \cdot H$, где $S_{BDE}$ — площадь треугольника $BDE$, а $H$ — высота тетраэдра $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на основание $BCD$.

По условию, $ABCD$ — единичный правильный тетраэдр, значит, все его ребра равны 1, а все грани — равносторонние треугольники со стороной 1.Площадь грани $BCD$ равна:$S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$Точка $E$ — середина ребра $CD$. Следовательно, отрезок $BE$ является медианой в треугольнике $BCD$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому:$S_{BDE} = \frac{1}{2} S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Высота правильного тетраэдра со стороной $a$ вычисляется по формуле $H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Для единичного тетраэдра $a=1$, поэтому высота $H$ из вершины $A$ на плоскость $BCD$ равна:$H = \sqrt{\frac{2}{3}}$Теперь можем найти объем тетраэдра $DABE$:$V_{DABE} = V_{A-BDE} = \frac{1}{3} S_{BDE} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{24}$

2. Вычисление площади треугольника $ABE$.
Найдем стороны треугольника $ABE$.Сторона $AB$ является ребром тетраэдра, поэтому $AB = 1$.Сторона $BE$ является медианой (а также высотой и биссектрисой) в равностороннем треугольнике $BCD$ со стороной 1. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.$BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$Аналогично, сторона $AE$ является медианой в равностороннем треугольнике $ACD$.$AE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, треугольник $ABE$ — равнобедренный со сторонами $AB=1$, $AE = BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $EM$ из вершины $E$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому точка $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{1}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AME$ по теореме Пифагора найдем высоту $EM$:$EM^2 = AE^2 - AM^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$EM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Площадь треугольника $ABE$ равна:$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot EM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. Нахождение расстояния от точки $D$ до плоскости $ABE$.
Теперь у нас есть все данные для вычисления искомого расстояния $h$:$h = \frac{3 \cdot V_{DABE}}{S_{ABE}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{24}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{24}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{24} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$