Номер 38, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $O$ — центре нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ проведем через вершины $A$ и $D$.

По условию, все ребра призмы равны 1. В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ расстояние от центра до вершины также равно $a=1$. Найдем координаты необходимых нам вершин.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• Вершина $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$.
• Вершина $B$ получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$, то есть $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0)$, то есть $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $E$ симметрична вершине $B$ относительно начала координат. Ее координаты: $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находится в плоскости $z=1$, так как высота призмы (длина бокового ребра) равна 1. Координаты вершины $E_1$ будут:

• $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь у нас есть координаты трех точек, определяющих задачу: $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$

В нашем случае точка $M_0$ — это точка $B$, а прямая — это $CE_1$. В качестве точки $M_1$ на прямой возьмем точку $C$, а в качестве направляющего вектора $\vec{s}$ — вектор $\vec{CE_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Теперь найдем векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - 1\vec{j} - \sqrt{3}\vec{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{CB} \times \vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{CE_1}$:

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Наконец, вычислим искомое расстояние:

$d = \frac{|\vec{CB} \times \vec{CE_1}|}{|\vec{CE_1}|} = \frac{2}{2} = 1$.

Альтернативное геометрическое решение:

Рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдем длины его сторон.

1. Сторона $BC$ — это ребро призмы, $BC = 1$.

2. Сторону $CE_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $CEE_1$. $EE_1 = 1$ (ребро призмы). $CE$ — малая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Длина малой диагонали $d = a\sqrt{3}$, то есть $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Тогда $CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $CE_1 = 2$.

3. Сторону $BE_1$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BEE_1$. $EE_1 = 1$. $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Длина большой диагонали $D = 2a$, то есть $BE = 2 \cdot 1 = 2$. Тогда $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны $1, 2, \sqrt{5}$.

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора:

$BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $BCE_1$ является прямоугольным, причем прямой угол — это $\angle BCE_1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CE_1$. Поскольку $\angle BCE_1 = 90^\circ$, таким перпендикуляром является катет $BC$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BC$, то есть 1.

Ответ: 1