Номер 32, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CE$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат, расположив ее наиболее удобным для вычислений образом.

Пусть точка $C$ совпадает с началом координат, то есть ее координаты $C(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CB$. Поскольку по условию все ребра призмы равны 1, длина ребра $CB$ равна 1. Тогда точка $B$ имеет координаты $B(1, 0, 0)$.

Основания призмы $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$. Найдем координаты точки $E_1$. Сначала определим координаты точки $E$ в нижнем основании, которое лежит в плоскости $z=0$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$ расстояние от центра до любой вершины равно $a$. Рассмотрим центр $O$ нижнего основания. Треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним со стороной 1. Найдем координаты центра $O$. Пусть $M$ — середина отрезка $CB$. Ее координаты $M(1/2, 0, 0)$. Высота $OM$ треугольника $\triangle OBC$, опущенная на сторону $CB$, равна $\sqrt{OC^2 - CM^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $OM$ перпендикулярна $CB$ (оси $Ox$), координаты центра $O$ будут $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ (мы можем выбрать любой из двух вариантов для знака координаты $y$, это не повлияет на конечный результат).

В правильном шестиугольнике главные диагонали пересекаются в центре и делятся пополам. Вектор из центра к одной вершине противоположен вектору из центра к диаметрально противоположной вершине. Так, $\vec{OE} = -\vec{OB}$.

Найдем вектор $\vec{OB}$ как разность координат точек $B$ и $O$:
$\vec{OB} = B - O = (1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Тогда вектор $\vec{OE}$ будет:
$\vec{OE} = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Координаты точки $E$ найдем, прибавив к координатам центра $O$ координаты вектора $\vec{OE}$:
$E = O + \vec{OE} = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0) + (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Призма является правильной, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть 1. Точка $E_1$ получается сдвигом точки $E$ вдоль оси $Oz$ на 1. Следовательно, координаты точки $E_1$ равны $(0, -\sqrt{3}, 1)$.

Теперь у нас есть координаты точек, необходимых для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CE_1$:
$B(1, 0, 0)$
$C(0, 0, 0)$
$E_1(0, -\sqrt{3}, 1)$

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{CB} = B - C = (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0)$.
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (0-0, -\sqrt{3}-0, 1-0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Чтобы проверить, не является ли отрезок $CB$ таким перпендикуляром, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{CB} \cdot \vec{CE_1} = (1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, эти векторы ортогональны (перпендикулярны). Это означает, что угол между прямыми $CB$ и $CE_1$ составляет $90^\circ$. Таким образом, отрезок $CB$ и есть перпендикуляр от точки $B$ к прямой $CE_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $CB$. По условию задачи, все ребра призмы равны 1, значит, $CB = 1$.

Ответ: 1