Номер 25, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до прямой. Обобщающее повторение - номер 25, страница 125.

Условия.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение.

Решение 2.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — это правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Точка $B$ и прямая $AF$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой $AF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

По условию, все ребра призмы равны 1, значит, сторона шестиугольника $ABCDEF$ также равна 1. Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ — число сторон. Для шестиугольника ($n=6$) угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

Для нахождения расстояния воспользуемся геометрическим построением. Продлим стороны $FA$ и $CB$ до их пересечения в точке, которую назовем $P$. Рассмотрим треугольник $PAB$.

Угол $\angle PAB$ является смежным с углом $\angle FAB$, поэтому $\angle PAB = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle PBA$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle PBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол треугольника $PAB$ равен $\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $PAB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Сторона $AB$ этого треугольника является стороной шестиугольника и равна 1. Следовательно, все стороны треугольника $PAB$ равны 1: $PA = PB = AB = 1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AF$. Так как точка $P$ лежит на продолжении стороны $FA$, прямая $AF$ совпадает с прямой $PA$. Таким образом, искомое расстояние равно высоте равностороннего треугольника $PAB$, проведенной из вершины $B$ к стороне $PA$.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставив значение стороны $a=1$, получаем:

$h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.