Номер 23, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что основания призмы являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AB_1$ в треугольнике $ABB_1$. Обозначим эту высоту как $h$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Его сторонами являются ребро основания $AB$, боковое ребро $BB_1$ и диагональ $AB_1$.

Так как призма правильная, она является прямой призмой. Это означает, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $BB_1 \perp AB$.

Таким образом, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABB_1 = 90^\circ$). Катетами этого треугольника являются $AB$ и $BB_1$.

Найдем длины сторон этого треугольника:

Катет $AB$ является стороной основания, по условию $AB = 1$.

Катет $BB_1$ является боковым ребром, по условию $BB_1 = 1$.

Гипотенузу $AB_1$ найдем по теореме Пифагора:$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Искомое расстояние $h$ является высотой прямоугольного треугольника $ABB_1$, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB_1$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h$

Приравняв эти два выражения для площади, получим:

$AB \cdot BB_1 = AB_1 \cdot h$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{AB \cdot BB_1}{AB_1}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$