Номер 21, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Расстояние от точки до прямой. Обобщающее повторение - номер 21, страница 125.

Условия.

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение.

Решение 2.

Данная задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой AF в плоскости основания пирамиды. Основанием является правильный шестиугольник ABCDEF.

По условию, стороны основания равны 1. Это означает, что в шестиугольнике ABCDEF длина каждой стороны (AB, BC, CD, DE, EF, FA) равна 1. Информация о боковых ребрах и высоте пирамиды не требуется для нахождения расстояния между элементами, лежащими в плоскости основания.

Рассмотрим треугольник ABF, образованный вершинами основания.

• Сторона $AB = 1$ (сторона шестиугольника).
• Сторона $AF = 1$ (сторона шестиугольника).
• Угол $\angle FAB$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для $n=6$ получаем:$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Искомое расстояние от точки B до прямой AF является высотой треугольника ABF, опущенной из вершины B на прямую, содержащую сторону AF. Обозначим эту высоту как $h$.

Так как угол $\angle FAB$ равен $120^\circ$ (тупой угол), основание высоты из точки B будет лежать на продолжении отрезка FA за точку A. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую AF. Тогда нам нужно найти длину отрезка BH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHA.

• Гипотенуза $AB = 1$.
• Угол $\angle BAH$ смежен с углом $\angle FAB$, поэтому $\angle BAH = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Катет BH, являющийся искомым расстоянием, находится напротив угла $\angle BAH$. Его можно найти через синус этого угла:

$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$

Подставляя известные значения, получаем:

$BH = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки B до прямой AF равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$