Номер 24, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CB_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CB_1$ необходимо рассмотреть треугольник $BCB_1$. Искомое расстояние будет равно длине высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CB_1$ в этом треугольнике.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Это означает, что основания призмы — правильные шестиугольники, а сама призма — прямая. Свойство прямой призмы заключается в том, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро основания $BC$ лежит в плоскости $ABCDEF$, следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $BC$. Это означает, что угол $\angle CBB_1 = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным, где угол при вершине $B$ — прямой. Стороны $BC$ и $BB_1$ являются катетами этого треугольника.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно, длины катетов треугольника $BCB_1$ составляют: $BC = 1$ (как сторона основания) и $BB_1 = 1$ (как боковое ребро).

Теперь найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора: $CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $CB_1 = \sqrt{2}$.

Искомое расстояние $h$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $CB_1$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2: $\sqrt{2} \cdot h = 1$.

Выразим из этого уравнения $h$: $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$