Номер 28, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EE_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $EE_1$.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Поскольку призма является правильной, её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, в которой лежит точка $B$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $EE_1$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $BH$. Мы ищем точку $H$ на прямой $EE_1$ такую, что $BH \perp EE_1$.

Рассмотрим отрезок $BE$. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Точка $E$ также лежит в этой плоскости и одновременно принадлежит прямой $EE_1$. Таким образом, весь отрезок $BE$ находится в плоскости основания $ABCDEF$.

Так как прямая $EE_1$ перпендикулярна всей плоскости $ABCDEF$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $E$. Отрезок $BE$ является как раз такой прямой. Следовательно, $BE \perp EE_1$.

Это означает, что точка $E$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $EE_1$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $BE$.

Остается найти длину отрезка $BE$. Этот отрезок является диагональю в основании призмы — правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1. В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: малые (например, $AC$) и большие (например, $AD$, $BE$, $CF$). Диагональ $BE$ соединяет две вершины через две другие ($C$ и $D$) и является большой диагональю.

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника $O$. Большая диагональ, такая как $BE$, проходит через центр $O$ и ее длина равна сумме длин двух сторон этих равносторонних треугольников, то есть удвоенной стороне шестиугольника. Поскольку по условию сторона шестиугольника равна 1, то длина диагонали $BE$ равна $2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2