Номер 22, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EF$.

Для решения задачи нам нужно найти расстояние от точки B до прямой EF в основании правильной шестиугольной пирамиды. Так как и точка B, и прямая EF лежат в плоскости основания, задача сводится к планиметрической задаче нахождения расстояния между элементами правильного шестиугольника ABCDEF.

Пусть сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $a$. По условию, $a = 1$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим треугольник $BEF$. Найдем длины его сторон:

1. Сторона $EF$ является стороной шестиугольника, поэтому ее длина равна $EF = a = 1$.

2. Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше его стороны. Таким образом, $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Сторона $BF$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длину малой диагонали можно найти по теореме косинусов для треугольника $ABF$. Угол $\angle FAB$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Стороны $AB = AF = a = 1$.
По теореме косинусов:
$BF^2 = AB^2 + AF^2 - 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos(\angle FAB)$
$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$BF^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$BF = \sqrt{3}$.
Также можно использовать известную формулу для малой диагонали $d_{малая} = a\sqrt{3}$, что дает тот же результат: $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $BEF$ со сторонами $EF = 1$, $BF = \sqrt{3}$ и $BE = 2$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$EF^2 + BF^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$BE^2 = 2^2 = 4$.
Поскольку $EF^2 + BF^2 = BE^2$, треугольник $BEF$ является прямоугольным, причем прямой угол — это угол $\angle BFE$.

Это означает, что сторона $BF$ перпендикулярна стороне $EF$. По определению, расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту прямую. Таким перпендикуляром и является отрезок $BF$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BF$.

Расстояние равно $\sqrt{3}$. Информация о боковых ребрах пирамиды в данной задаче является избыточной.

Ответ: $\sqrt{3}$.