Номер 26, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE$.

Искомое расстояние от точки B до прямой FE₁ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую FE₁. Этот перпендикуляр является высотой треугольника BFE₁, проведенной из вершины B к стороне FE₁. Для нахождения этой высоты определим длины сторон данного треугольника.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник ABCDEF со стороной 1, а боковые ребра, равные 1, перпендикулярны основаниям.

Найдем длину отрезка BF. Этот отрезок является меньшей диагональю шестиугольника в основании. Рассмотрим треугольник ABF. В нем $AB=1$, $AF=1$. Угол правильного шестиугольника $\angle FAB = 120^\circ$. По теореме косинусов:$BF^2 = AB^2 + AF^2 - 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BF = \sqrt{3}$.

Найдем длину отрезка FE₁. Так как призма прямая, ребро EE₁ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой FE, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник FEE₁ прямоугольный с прямым углом E. Катет FE — это сторона основания, $FE=1$. Катет EE₁ — это боковое ребро, $EE_1=1$. По теореме Пифагора:$FE_1^2 = FE^2 + EE_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Отсюда $FE_1 = \sqrt{2}$.

Найдем длину отрезка BE₁. Ребро EE₁ перпендикулярно прямой BE в основании, поэтому треугольник BEE₁ также является прямоугольным с прямым углом E. Катет BE — это большая диагональ шестиугольника. Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника, то есть $BE = 2 \cdot 1 = 2$. Катет $EE_1=1$. По теореме Пифагора:$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Отсюда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника BFE₁: $BF = \sqrt{3}$, $FE_1 = \sqrt{2}$, $BE_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора.$BF^2 + FE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Поскольку $BF^2 + FE_1^2 = BE_1^2$, треугольник BFE₁ является прямоугольным с гипотенузой BE₁ и прямым углом при вершине F.

Раз $\angle BFE_1 = 90^\circ$, то катет BF является перпендикуляром, опущенным из точки B на прямую FE₁. Следовательно, длина отрезка BF и есть искомое расстояние.

Ответ: $\sqrt{3}$