Номер 29, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ найдем длину перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту прямую. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle BE_1F_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $E_1F_1$. Найдем длины всех сторон треугольника $\triangle BE_1F_1$.

В условии сказано, что $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Это значит, что в основаниях лежат правильные шестиугольники со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Найдем длины сторон треугольника $\triangle BE_1F_1$:

1. Сторона $E_1F_1$ является ребром верхнего основания призмы, поэтому ее длина по условию равна 1. Таким образом, $E_1F_1 = 1$.

2. Для нахождения длины отрезка $BF_1$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BFF_1$ (он прямоугольный, так как ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания). Катет $FF_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $BF$ — это диагональ основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 отрезок $BF$ соединяет вершины через две другие ($C,D,E$), то есть является короткой диагональю. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BF = \sqrt{3}$.По теореме Пифагора для $\triangle BFF_1$:$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Следовательно, $BF_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Для нахождения длины отрезка $BE_1$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BEE_1$ (ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию). Катет $EE_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $BE$ соединяет противолежащие вершины шестиугольника и является его длинной диагональю. Длина длинной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2$.По теореме Пифагора для $\triangle BEE_1$:$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, мы имеем треугольник $\triangle BE_1F_1$ со сторонами $E_1F_1 = 1$, $BF_1 = 2$ и $BE_1 = \sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$E_1F_1^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $E_1F_1^2 + BF_1^2 = BE_1^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $\triangle BE_1F_1$ является прямоугольным, а его прямой угол — это угол, лежащий напротив самой длинной стороны $BE_1$, то есть $\angle BF_1E_1 = 90^\circ$.

Поскольку $\angle BF_1E_1 = 90^\circ$, отрезок $BF_1$ является перпендикуляром к прямой $E_1F_1$. Следовательно, длина этого отрезка и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Ответ: 2.