Номер 35, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

По условию, в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны. Пусть длина каждого ребра равна 1. Нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из точки $B$ на прямую $AD_1$.

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $AB$ является стороной основания шестиугольника, которая по условию равна ребру призмы. Следовательно, $AB = 1$.

2. Сторона $AD_1$ является диагональю призмы. Ее можно найти как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $ADD_1$, где катеты - это диагональ основания $AD$ и боковое ребро $DD_1$.

• $DD_1 = 1$ (длина бокового ребра).
• $AD$ — большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше стороны шестиугольника. Таким образом, $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Сторона $BD_1$ также является диагональю призмы. Найдем ее как гипотенузу в прямоугольном треугольнике $BDD_1$, где катеты — это диагональ основания $BD$ и боковое ребро $DD_1$.

• $DD_1 = 1$.
• $BD$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Найдем ее длину по теореме косинусов из треугольника $BCD$ в основании. В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $120^\circ$. $BC = CD = 1$.$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Итак, стороны треугольника $ABD_1$ равны: $AB=1$, $BD_1=2$, $AD_1=\sqrt{5}$.Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $B$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ — это высота $h_B$, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AD_1$.Площадь $S$ прямоугольного треугольника $ABD_1$ можно вычислить двумя способами:1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AD_1 \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h_B$.Приравнивая два выражения для площади, получим:$1 = \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot h_B$.Отсюда находим высоту $h_B$:$h_B = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$