Номер 31, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}{E}_{1}{F}_{1}$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$, мы можем рассмотреть треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние — это длина высоты этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $AE_1$. Найдем длины всех трех сторон этого треугольника.

В условии сказано, что призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, и все ее ребра равны 1. Это значит, что в основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1, а высота призмы, например, $EE_1$, также равна 1.

Сторона $AB$ треугольника $ABE_1$ является стороной шестиугольника в основании, поэтому ее длина $AB = 1$.

Для нахождения стороны $AE_1$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $AEE_1$ (он прямоугольный, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию). Длина катета $EE_1$ равна 1. Длину катета $AE$ найдем из свойств правильного шестиугольника. $AE$ — это малая диагональ шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина равна $a\sqrt{3}$, то есть $AE = \sqrt{3}$. Тогда гипотенуза $AE_1$ равна:$AE_1 = \sqrt{AE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Для нахождения стороны $BE_1$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $BEE_1$. Длина катета $EE_1$ равна 1. Катет $BE$ является большой диагональю шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина равна $2a$, то есть $BE = 2$. Тогда гипотенуза $BE_1$ равна:$BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть треугольник $ABE_1$ со сторонами $AB=1$, $AE_1=2$ и $BE_1=\sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для него обратная теорема Пифагора:$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $ABE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Поскольку $\angle BAE_1 = 90^\circ$, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $AE_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $AB$.

Ответ: 1