Номер 36, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Для нахождения искомого расстояния от точки B до прямой CF₁ рассмотрим треугольник BCF₁. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из вершины B на сторону CF₁. Обозначим эту высоту как h. Чтобы найти h, сначала вычислим длины всех сторон треугольника BCF₁.

1. Сторона BC является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, $BC = 1$.

2. Сторона CF₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике CFF₁, так как боковое ребро FF₁ перпендикулярно плоскости основания. Катет FF₁ — это боковое ребро призмы, поэтому $FF_1 = 1$. Катет CF — это большая диагональ правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной a равна 2a. В нашем случае $a=1$, поэтому $CF = 2$. По теореме Пифагора: $CF_1^2 = CF^2 + FF_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $CF_1 = \sqrt{5}$.

3. Сторона BF₁ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике BFF₁. Катет FF₁ равен 1. Катет BF — это малая диагональ правильного шестиугольника в основании. Длина малой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной a равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BF = \sqrt{3}$. По теореме Пифагора: $BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $BF_1 = 2$.

Теперь у нас есть треугольник BCF₁ со сторонами $BC = 1$, $BF_1 = 2$ и $CF_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны: $BC^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $BC^2 + BF_1^2 = CF_1^2$, треугольник BCF₁ является прямоугольным, и его прямой угол находится при вершине B ($\angle CBF_1 = 90^\circ$).

Искомое расстояние h — это высота, проведенная из вершины прямого угла B к гипотенузе CF₁. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней. $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$. $S = \frac{1}{2} \cdot CF_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h$. Приравняем два выражения для площади: $1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot h$. Отсюда выражаем h: $h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$