Номер 3, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDA_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D и осями, направленными вдоль ребер куба: ось Ox вдоль DA, ось Oy вдоль DC, ось Oz вдоль DD₁.

Так как куб единичный, его ребро равно 1. Определим координаты необходимых для решения точек в этой системе:

D(0; 0; 0) – начало координат.

C(0; 1; 0) – лежит на оси Oy.

A(1; 0; 0) – лежит на оси Ox.

A₁(1; 0; 1) – проекция на плоскость Oxy – точка A, z-координата равна 1.

B(1; 1; 0) – точка, для которой ищем расстояние.

Плоскость CDA₁ проходит через три точки: C(0; 1; 0), D(0; 0; 0) и A₁(1; 0; 1). Составим уравнение этой плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат D(0; 0; 0), подставив эти координаты в уравнение, получим $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, откуда $d = 0$. Уравнение плоскости принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Для нахождения коэффициентов a, b, c найдем вектор нормали $\vec{n} = (a, b, c)$ к плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Возьмем векторы $\vec{DC}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DC} = (0-0; 1-0; 0-0) = (0; 1; 0)$

$\vec{DA_1} = (1-0; 0-0; 1-0) = (1; 0; 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{n} = \vec{DC} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (1; 0; -1)$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (1; 0; -1)$. Уравнение плоскости CDA₁ имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z = 0$, то есть $x - z = 0$.

Теперь найдем искомое расстояние $\rho$ от точки B(1; 1; 0) до плоскости $x - z = 0$, используя формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

В нашем случае точка $(x_0, y_0, z_0) = (1; 1; 0)$, а коэффициенты уравнения плоскости $1 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z + 0 = 0$ равны $a=1, b=0, c=-1, d=0$.

Подставляем значения в формулу:

$\rho = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\rho = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: расстояние от точки В до плоскости CDA₁ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.