Номер 30, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $D_1E_1$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ равно длине высоты треугольника $BD_1E_1$, проведенной из вершины $B$ к стороне $D_1E_1$. Чтобы найти эту высоту, мы сначала вычислим длины всех сторон треугольника $BD_1E_1$.

1. Нахождение длины стороны $D_1E_1$

Согласно условию, призма является правильной шестиугольной, и все ее ребра равны 1. Отрезок $D_1E_1$ — это сторона верхнего основания, которое представляет собой правильный шестиугольник. Следовательно, длина этого отрезка равна 1.

$D_1E_1 = 1$

2. Нахождение длины стороны $BD_1$

Длину отрезка $BD_1$ найдем с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $BDD_1$. В этом треугольнике катет $DD_1$ является боковым ребром призмы, поэтому его длина равна 1. Катет $BD$ является меньшей диагональю шестиугольного основания $ABCDEF$.

Чтобы найти длину диагонали $BD$, рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. В правильном шестиугольнике все стороны равны 1, а внутренние углы равны $120^\circ$. Таким образом, в $\triangle BCD$ мы имеем $BC=1$, $CD=1$ и $\angle BCD = 120^\circ$. Применим теорему косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $BDD_1$ и применим теорему Пифагора:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = \sqrt{4} = 2$

3. Нахождение длины стороны $BE_1$

Длину отрезка $BE_1$ найдем аналогично, рассмотрев прямоугольный треугольник $BEE_1$. Катет $EE_1$ — это боковое ребро призмы, поэтому $EE_1=1$. Катет $BE$ является большей диагональю шестиугольного основания.

Длина большей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как по условию сторона основания равна 1, то $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Применим теорему Пифагора для $\triangle BEE_1$:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$BE_1 = \sqrt{5}$

4. Вычисление расстояния

Мы определили, что треугольник $BD_1E_1$ имеет стороны длиной $D_1E_1 = 1$, $BD_1 = 2$ и $BE_1 = \sqrt{5}$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины $B$ на сторону $D_1E_1$.

Найдем площадь $S$ этого треугольника, используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{1 + 2 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь вычислим площадь:

$S = \sqrt{p(p-D_1E_1)(p-BD_1)(p-BE_1)} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - 1\right) \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2\right) \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5}\right)}$

$S = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

Сгруппируем сопряженные выражения под корнем для упрощения:

$S = \sqrt{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{3^2 - (\sqrt{5})^2}{4} \cdot \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}} = \sqrt{\frac{9-5}{4} \cdot \frac{5-1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание сторону $D_1E_1$, тогда высота $h$ и будет искомым расстоянием.

$1 = \frac{1}{2} \cdot D_1E_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h$

Отсюда $h = 2$.

Ответ: 2.