Страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

По условию задачи, дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1.

Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной, равной 1, а все боковые ребра ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$) также равны 1. Следовательно, все боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $SA$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим треугольник $SAB$. Точки $S$, $A$ и $B$ определяют плоскость этого треугольника. Искомое расстояние — это высота $BH$, проведенная из вершины $B$ к стороне $SA$ в треугольнике $SAB$.

Поскольку все ребра пирамиды равны 1, то стороны треугольника $SAB$ равны: $SA = 1$, $AB = 1$ и $SB = 1$. Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Высота в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона треугольника $a = 1$. Подставим это значение в формулу:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно высоте равностороннего треугольника $SAB$, то есть $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

16. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SC$.

По условию, SABCD – правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат ABCD со стороной 1, а боковые ребра SA, SB, SC и SD также равны 1.

Требуется найти расстояние от точки B до прямой SC. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую SC. Обозначим основание этого перпендикуляра как H, тогда искомое расстояние – это длина отрезка BH.

Рассмотрим боковую грань пирамиды – треугольник SBC. И точка B, и прямая SC лежат в плоскости этого треугольника. Следовательно, задача сводится к нахождению высоты BH в треугольнике SBC.

Найдем длины сторон треугольника SBC. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Значит:

• SB = 1 (боковое ребро)
• BC = 1 (сторона основания)
• SC = 1 (боковое ребро)

Так как все стороны треугольника SBC равны 1, он является равносторонним.

Расстояние от точки B до прямой SC – это высота равностороннего треугольника SBC, проведенная из вершины B. Высота h в равностороннем треугольнике со стороной a вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона треугольника $a = 1$. Подставим это значение в формулу: $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, искомое расстояние от точки B до прямой SC равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

17. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

По условию, $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат $ABCD$. Все ребра пирамиды равны 1, следовательно, сторона основания также равна 1: $AB = BC = CD = DA = 1$.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AC$. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости основания. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до диагонали $AC$ в квадрате $ABCD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Так как $BD \perp AC$, то отрезок $BO$ является перпендикуляром от точки $B$ к прямой $AC$. Следовательно, длина отрезка $BO$ и есть искомое расстояние.

Для нахождения длины $BO$, сначала найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (с прямым углом при вершине $A$). По теореме Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

Подставим известные значения сторон:

$BD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Отсюда длина диагонали $BD$ равна:

$BD = \sqrt{2}$

Так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, то:

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

18. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $SD$, мы рассмотрим треугольник $SBD$. Искомое расстояние равно длине высоты этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $SD$.

Поскольку $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида и все ее ребра равны 1, ее основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1, а боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ также равны 1.

Определим длины сторон треугольника $SBD$. Длины сторон $SB$ и $SD$ являются длинами боковых ребер, поэтому $SB = 1$ и $SD = 1$. Сторона $BD$ — это диагональ квадрата $ABCD$. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$:$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $BD = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $SBD$ имеет стороны длиной $1$, $1$ и $\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника равенство из теоремы Пифагора:$SB^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.$BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Поскольку сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны ($SB^2 + SD^2 = BD^2$), по обратной теореме Пифагора треугольник $SBD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$. Это значит, что угол $\angle BSD = 90^\circ$.

Так как ребро $SB$ перпендикулярно ребру $SD$, то отрезок $SB$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $SD$. Таким образом, искомое расстояние от точки $B$ до прямой $SD$ равно длине отрезка $SB$.

Длина ребра $SB$ по условию равна 1.

Ответ: 1.

19. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $AC$.

По условию, дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, в которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB = BC = CD = DA = 1$, а все боковые ребра также равны 1: $SA = SB = SC = SD = 1$. Необходимо найти расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Рассмотрим треугольник $SAC$. Он является равнобедренным, так как боковые ребра $SA = SC = 1$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. В правильной пирамиде высота $SO$ проецируется в центр основания, то есть в точку $O$. Следовательно, отрезок $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. Таким образом, искомое расстояние от точки $S$ до прямой $AC$ есть длина высоты пирамиды $SO$.

Для нахождения длины $SO$ рассмотрим прямоугольный треугольник $AOC$. Сначала найдем длину диагонали основания $AC$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $AC = \sqrt{2}$.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому:$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $SA = 1$ (боковое ребро) и катет $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем второй катет $SO$ по теореме Пифагора:$SO^2 = SA^2 - AO^2$$SO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $S$ до прямой $AC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Расстояние от точки $S$ до прямой $AB$ — это длина высоты боковой грани $SAB$, опущенной из вершины $S$ на сторону $AB$. Назовем эту высоту $SH$, где $H$ — точка на прямой $AB$.

Рассмотрим треугольник $SAB$. По условию, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Следовательно, в треугольнике $SAB$ мы имеем:

$SA = SB = 2$ (боковые ребра)

$AB = 1$ (сторона основания)

Так как $SA = SB$, треугольник $SAB$ является равнобедренным. Высота $SH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AB$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAH$ (где $\angle SHA = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора:

$SA^2 = AH^2 + SH^2$

Отсюда выразим искомую высоту $SH$:

$SH^2 = SA^2 - AH^2$

Подставим известные значения:

$SH^2 = 2^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$

$SH = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки $S$ до прямой $AB$ равно $\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{2}$

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Данная задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой AF в плоскости основания пирамиды. Основанием является правильный шестиугольник ABCDEF.

По условию, стороны основания равны 1. Это означает, что в шестиугольнике ABCDEF длина каждой стороны (AB, BC, CD, DE, EF, FA) равна 1. Информация о боковых ребрах и высоте пирамиды не требуется для нахождения расстояния между элементами, лежащими в плоскости основания.

Рассмотрим треугольник ABF, образованный вершинами основания.

• Сторона $AB = 1$ (сторона шестиугольника).
• Сторона $AF = 1$ (сторона шестиугольника).
• Угол $\angle FAB$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для $n=6$ получаем:$\angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Искомое расстояние от точки B до прямой AF является высотой треугольника ABF, опущенной из вершины B на прямую, содержащую сторону AF. Обозначим эту высоту как $h$.

Так как угол $\angle FAB$ равен $120^\circ$ (тупой угол), основание высоты из точки B будет лежать на продолжении отрезка FA за точку A. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую AF. Тогда нам нужно найти длину отрезка BH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHA.

• Гипотенуза $AB = 1$.
• Угол $\angle BAH$ смежен с углом $\angle FAB$, поэтому $\angle BAH = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Катет BH, являющийся искомым расстоянием, находится напротив угла $\angle BAH$. Его можно найти через синус этого угла:

$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$

Подставляя известные значения, получаем:

$BH = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки B до прямой AF равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

22. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EF$.

Для решения задачи нам нужно найти расстояние от точки B до прямой EF в основании правильной шестиугольной пирамиды. Так как и точка B, и прямая EF лежат в плоскости основания, задача сводится к планиметрической задаче нахождения расстояния между элементами правильного шестиугольника ABCDEF.

Пусть сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $a$. По условию, $a = 1$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим треугольник $BEF$. Найдем длины его сторон:

1. Сторона $EF$ является стороной шестиугольника, поэтому ее длина равна $EF = a = 1$.

2. Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше его стороны. Таким образом, $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Сторона $BF$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длину малой диагонали можно найти по теореме косинусов для треугольника $ABF$. Угол $\angle FAB$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Стороны $AB = AF = a = 1$.
По теореме косинусов:
$BF^2 = AB^2 + AF^2 - 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos(\angle FAB)$
$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$BF^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$BF = \sqrt{3}$.
Также можно использовать известную формулу для малой диагонали $d_{малая} = a\sqrt{3}$, что дает тот же результат: $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь у нас есть треугольник $BEF$ со сторонами $EF = 1$, $BF = \sqrt{3}$ и $BE = 2$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$EF^2 + BF^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$BE^2 = 2^2 = 4$.
Поскольку $EF^2 + BF^2 = BE^2$, треугольник $BEF$ является прямоугольным, причем прямой угол — это угол $\angle BFE$.

Это означает, что сторона $BF$ перпендикулярна стороне $EF$. По определению, расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту прямую. Таким перпендикуляром и является отрезок $BF$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BF$.

Расстояние равно $\sqrt{3}$. Информация о боковых ребрах пирамиды в данной задаче является избыточной.

Ответ: $\sqrt{3}$.

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

По условию, дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что основания призмы являются правильными шестиугольниками со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Требуется найти расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$. Это расстояние равно длине высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AB_1$ в треугольнике $ABB_1$. Обозначим эту высоту как $h$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Его сторонами являются ребро основания $AB$, боковое ребро $BB_1$ и диагональ $AB_1$.

Так как призма правильная, она является прямой призмой. Это означает, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $BB_1 \perp AB$.

Таким образом, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABB_1 = 90^\circ$). Катетами этого треугольника являются $AB$ и $BB_1$.

Найдем длины сторон этого треугольника:

Катет $AB$ является стороной основания, по условию $AB = 1$.

Катет $BB_1$ является боковым ребром, по условию $BB_1 = 1$.

Гипотенузу $AB_1$ найдем по теореме Пифагора:$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Искомое расстояние $h$ является высотой прямоугольного треугольника $ABB_1$, проведенной из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $AB_1$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

2. Через гипотенузу и высоту к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot h$

Приравняв эти два выражения для площади, получим:

$AB \cdot BB_1 = AB_1 \cdot h$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = \frac{AB \cdot BB_1}{AB_1}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CB_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CB_1$ необходимо рассмотреть треугольник $BCB_1$. Искомое расстояние будет равно длине высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CB_1$ в этом треугольнике.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Это означает, что основания призмы — правильные шестиугольники, а сама призма — прямая. Свойство прямой призмы заключается в том, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро основания $BC$ лежит в плоскости $ABCDEF$, следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно ребру $BC$. Это означает, что угол $\angle CBB_1 = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным, где угол при вершине $B$ — прямой. Стороны $BC$ и $BB_1$ являются катетами этого треугольника.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно, длины катетов треугольника $BCB_1$ составляют: $BC = 1$ (как сторона основания) и $BB_1 = 1$ (как боковое ребро).

Теперь найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора: $CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $CB_1 = \sqrt{2}$.

Искомое расстояние $h$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $B$ к гипотенузе $CB_1$. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.

Приравняв два выражения для площади, получим уравнение: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2: $\sqrt{2} \cdot h = 1$.

Выразим из этого уравнения $h$: $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — это правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Точка $B$ и прямая $AF$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой $AF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

По условию, все ребра призмы равны 1, значит, сторона шестиугольника $ABCDEF$ также равна 1. Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ — число сторон. Для шестиугольника ($n=6$) угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$ и $\angle ABC = 120^\circ$.

Для нахождения расстояния воспользуемся геометрическим построением. Продлим стороны $FA$ и $CB$ до их пересечения в точке, которую назовем $P$. Рассмотрим треугольник $PAB$.

Угол $\angle PAB$ является смежным с углом $\angle FAB$, поэтому $\angle PAB = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle PBA$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle PBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол треугольника $PAB$ равен $\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

Поскольку все углы треугольника $PAB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Сторона $AB$ этого треугольника является стороной шестиугольника и равна 1. Следовательно, все стороны треугольника $PAB$ равны 1: $PA = PB = AB = 1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AF$. Так как точка $P$ лежит на продолжении стороны $FA$, прямая $AF$ совпадает с прямой $PA$. Таким образом, искомое расстояние равно высоте равностороннего треугольника $PAB$, проведенной из вершины $B$ к стороне $PA$.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставив значение стороны $a=1$, получаем:

$h = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE$.

Искомое расстояние от точки B до прямой FE₁ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую FE₁. Этот перпендикуляр является высотой треугольника BFE₁, проведенной из вершины B к стороне FE₁. Для нахождения этой высоты определим длины сторон данного треугольника.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник ABCDEF со стороной 1, а боковые ребра, равные 1, перпендикулярны основаниям.

Найдем длину отрезка BF. Этот отрезок является меньшей диагональю шестиугольника в основании. Рассмотрим треугольник ABF. В нем $AB=1$, $AF=1$. Угол правильного шестиугольника $\angle FAB = 120^\circ$. По теореме косинусов:$BF^2 = AB^2 + AF^2 - 2 \cdot AB \cdot AF \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BF = \sqrt{3}$.

Найдем длину отрезка FE₁. Так как призма прямая, ребро EE₁ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой FE, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник FEE₁ прямоугольный с прямым углом E. Катет FE — это сторона основания, $FE=1$. Катет EE₁ — это боковое ребро, $EE_1=1$. По теореме Пифагора:$FE_1^2 = FE^2 + EE_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Отсюда $FE_1 = \sqrt{2}$.

Найдем длину отрезка BE₁. Ребро EE₁ перпендикулярно прямой BE в основании, поэтому треугольник BEE₁ также является прямоугольным с прямым углом E. Катет BE — это большая диагональ шестиугольника. Ее длина равна удвоенной стороне шестиугольника, то есть $BE = 2 \cdot 1 = 2$. Катет $EE_1=1$. По теореме Пифагора:$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Отсюда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника BFE₁: $BF = \sqrt{3}$, $FE_1 = \sqrt{2}$, $BE_1 = \sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора.$BF^2 + FE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Поскольку $BF^2 + FE_1^2 = BE_1^2$, треугольник BFE₁ является прямоугольным с гипотенузой BE₁ и прямым углом при вершине F.

Раз $\angle BFE_1 = 90^\circ$, то катет BF является перпендикуляром, опущенным из точки B на прямую FE₁. Следовательно, длина отрезка BF и есть искомое расстояние.

Ответ: $\sqrt{3}$

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DE$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $DE_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $BH$, где $H$ — точка на прямой $DE_1$. Мы ищем длину отрезка $BH$.

Для нахождения этой длины рассмотрим треугольник $BDE_1$. Высота этого треугольника, проведенная из вершины $B$ к стороне $DE_1$, и есть искомое расстояние. Установим вид этого треугольника. Для этого докажем, что он является прямоугольным, а именно, что $\angle BDE_1 = 90^\circ$.

Чтобы доказать перпендикулярность прямых $DB$ и $DE_1$, мы можем показать, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$ равно нулю.

Представим вектор $\vec{DE_1}$ как сумму двух векторов: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$. Вектор $\vec{DE}$ лежит в плоскости нижнего основания призмы, а вектор $\vec{EE_1}$ — это вектор бокового ребра.

Тогда скалярное произведение будет равно:
$\vec{DB} \cdot \vec{DE_1} = \vec{DB} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{DB} \cdot \vec{DE} + \vec{DB} \cdot \vec{EE_1}$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, а значит, она прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Вектор $\vec{DB}$ полностью лежит в этой плоскости, поэтому векторы $\vec{DB}$ и $\vec{EE_1}$ перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{DB} \cdot \vec{EE_1} = 0$.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DE}$, которые лежат в плоскости основания. Для этого найдем угол между ними, то есть $\angle BDE$.

Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle CDE = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCD$, лежащий в основании. По условию, все ребра призмы равны 1, значит стороны шестиугольника также равны 1. Таким образом, $BC = CD = 1$. Треугольник $BCD$ является равнобедренным, а угол при вершине $\angle BCD = 120^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны:
$\angle CDB = \angle CBD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle BDE$, вычитая из угла $\angle CDE$ найденный угол $\angle CDB$:
$\angle BDE = \angle CDE - \angle CDB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Так как угол $\angle BDE = 90^\circ$, то векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DE}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение также равно нулю: $\vec{DB} \cdot \vec{DE} = 0$.

Возвращаясь к исходному скалярному произведению, получаем:
$\vec{DB} \cdot \vec{DE_1} = \vec{DB} \cdot \vec{DE} + \vec{DB} \cdot \vec{EE_1} = 0 + 0 = 0$.

Нулевое скалярное произведение означает, что векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$ перпендикулярны, то есть $DB \perp DE_1$.

Это значит, что отрезок $DB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $DE_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине диагонали $DB$ основания.

Найдем длину $DB$ по теореме косинусов для треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.
Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EE_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $EE_1$.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Поскольку призма является правильной, её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, в которой лежит точка $B$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $EE_1$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $BH$. Мы ищем точку $H$ на прямой $EE_1$ такую, что $BH \perp EE_1$.

Рассмотрим отрезок $BE$. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Точка $E$ также лежит в этой плоскости и одновременно принадлежит прямой $EE_1$. Таким образом, весь отрезок $BE$ находится в плоскости основания $ABCDEF$.

Так как прямая $EE_1$ перпендикулярна всей плоскости $ABCDEF$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $E$. Отрезок $BE$ является как раз такой прямой. Следовательно, $BE \perp EE_1$.

Это означает, что точка $E$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $EE_1$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $BE$.

Остается найти длину отрезка $BE$. Этот отрезок является диагональю в основании призмы — правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1. В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: малые (например, $AC$) и большие (например, $AD$, $BE$, $CF$). Диагональ $BE$ соединяет две вершины через две другие ($C$ и $D$) и является большой диагональю.

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника $O$. Большая диагональ, такая как $BE$, проходит через центр $O$ и ее длина равна сумме длин двух сторон этих равносторонних треугольников, то есть удвоенной стороне шестиугольника. Поскольку по условию сторона шестиугольника равна 1, то длина диагонали $BE$ равна $2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ найдем длину перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на эту прямую. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle BE_1F_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $E_1F_1$. Найдем длины всех сторон треугольника $\triangle BE_1F_1$.

В условии сказано, что $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1. Это значит, что в основаниях лежат правильные шестиугольники со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1.

Найдем длины сторон треугольника $\triangle BE_1F_1$:

1. Сторона $E_1F_1$ является ребром верхнего основания призмы, поэтому ее длина по условию равна 1. Таким образом, $E_1F_1 = 1$.

2. Для нахождения длины отрезка $BF_1$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BFF_1$ (он прямоугольный, так как ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания). Катет $FF_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $BF$ — это диагональ основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 отрезок $BF$ соединяет вершины через две другие ($C,D,E$), то есть является короткой диагональю. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BF = \sqrt{3}$.По теореме Пифагора для $\triangle BFF_1$:$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Следовательно, $BF_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Для нахождения длины отрезка $BE_1$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BEE_1$ (ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию). Катет $EE_1$ — это боковое ребро, его длина равна 1. Катет $BE$ соединяет противолежащие вершины шестиугольника и является его длинной диагональю. Длина длинной диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2$.По теореме Пифагора для $\triangle BEE_1$:$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, мы имеем треугольник $\triangle BE_1F_1$ со сторонами $E_1F_1 = 1$, $BF_1 = 2$ и $BE_1 = \sqrt{5}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$E_1F_1^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $E_1F_1^2 + BF_1^2 = BE_1^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $\triangle BE_1F_1$ является прямоугольным, а его прямой угол — это угол, лежащий напротив самой длинной стороны $BE_1$, то есть $\angle BF_1E_1 = 90^\circ$.

Поскольку $\angle BF_1E_1 = 90^\circ$, отрезок $BF_1$ является перпендикуляром к прямой $E_1F_1$. Следовательно, длина этого отрезка и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Ответ: 2.

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $D_1E_1$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ равно длине высоты треугольника $BD_1E_1$, проведенной из вершины $B$ к стороне $D_1E_1$. Чтобы найти эту высоту, мы сначала вычислим длины всех сторон треугольника $BD_1E_1$.

1. Нахождение длины стороны $D_1E_1$

Согласно условию, призма является правильной шестиугольной, и все ее ребра равны 1. Отрезок $D_1E_1$ — это сторона верхнего основания, которое представляет собой правильный шестиугольник. Следовательно, длина этого отрезка равна 1.

$D_1E_1 = 1$

2. Нахождение длины стороны $BD_1$

Длину отрезка $BD_1$ найдем с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $BDD_1$. В этом треугольнике катет $DD_1$ является боковым ребром призмы, поэтому его длина равна 1. Катет $BD$ является меньшей диагональю шестиугольного основания $ABCDEF$.

Чтобы найти длину диагонали $BD$, рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. В правильном шестиугольнике все стороны равны 1, а внутренние углы равны $120^\circ$. Таким образом, в $\triangle BCD$ мы имеем $BC=1$, $CD=1$ и $\angle BCD = 120^\circ$. Применим теорему косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $BDD_1$ и применим теорему Пифагора:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = \sqrt{4} = 2$

3. Нахождение длины стороны $BE_1$

Длину отрезка $BE_1$ найдем аналогично, рассмотрев прямоугольный треугольник $BEE_1$. Катет $EE_1$ — это боковое ребро призмы, поэтому $EE_1=1$. Катет $BE$ является большей диагональю шестиугольного основания.

Длина большей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Так как по условию сторона основания равна 1, то $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Применим теорему Пифагора для $\triangle BEE_1$:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$BE_1 = \sqrt{5}$

4. Вычисление расстояния

Мы определили, что треугольник $BD_1E_1$ имеет стороны длиной $D_1E_1 = 1$, $BD_1 = 2$ и $BE_1 = \sqrt{5}$. Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из вершины $B$ на сторону $D_1E_1$.

Найдем площадь $S$ этого треугольника, используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{1 + 2 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь вычислим площадь:

$S = \sqrt{p(p-D_1E_1)(p-BD_1)(p-BE_1)} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - 1\right) \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2\right) \cdot \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} - \sqrt{5}\right)}$

$S = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}}$

Сгруппируем сопряженные выражения под корнем для упрощения:

$S = \sqrt{\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{3^2 - (\sqrt{5})^2}{4} \cdot \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}} = \sqrt{\frac{9-5}{4} \cdot \frac{5-1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание сторону $D_1E_1$, тогда высота $h$ и будет искомым расстоянием.

$1 = \frac{1}{2} \cdot D_1E_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h$

Отсюда $h = 2$.

Ответ: 2.