Страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BC$ и $D_1E_1$ воспользуемся определением: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Найдем расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$, которая содержит прямую $D_1E_1$ и параллельна прямой $BC$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной. Это означает, что ее основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Рассмотрим свойство правильного шестиугольника $ABCDEF$. В нем противолежащие стороны попарно параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $FE$. Запишем это как $BC \parallel FE$.

Так как призма прямая, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Проекция отрезка $FE$ на плоскость верхнего основания есть отрезок $F_1E_1$. Следовательно, $FE \parallel F_1E_1$.

Из этого следует, что $BC \parallel F_1E_1$.

Теперь мы можем построить плоскость $\alpha$. Она должна проходить через прямую $D_1E_1$ и быть параллельной прямой $BC$. Поскольку мы нашли прямую $F_1E_1$, которая параллельна $BC$ и пересекает прямую $D_1E_1$ в точке $E_1$, то искомая плоскость $\alpha$ — это плоскость, определяемая пересекающимися прямыми $D_1E_1$ и $F_1E_1$. Обе эти прямые лежат в плоскости верхнего основания призмы. Таким образом, плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Задача свелась к нахождению расстояния от прямой $BC$ до плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $BC$ целиком лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Так как плоскость нижнего основания параллельна плоскости верхнего основания, искомое расстояние равно расстоянию между этими двумя параллельными плоскостями.

Расстояние между основаниями правильной прямой призмы есть ее высота, которая равна длине любого бокового ребра (например, $BB_1$ или $DD_1$). По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Следовательно, высота призмы равна 1.

Таким образом, расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$ равно 1.

Ответ: 1

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Для решения задачи найдем расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1. Решим задачу двумя способами.

Способ 1: Геометрический

Сначала определим взаимное расположение прямых $BA_1$ и $DE_1$. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $BA$ параллельна стороне $DE$ и равна ей по длине, т.е. четырехугольник $BADE$ является параллелограммом. Отсюда следует, что векторы $\vec{BA}$ и $\vec{DE}$ равны: $\vec{BA} = \vec{DE}$.

Рассмотрим векторы, задающие направления искомых прямых: $\vec{BA_1}$ и $\vec{DE_1}$. Их можно разложить по ребрам призмы: $\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$.

Поскольку призма прямая и правильная, все боковые ребра равны и параллельны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{EE_1}$. Учитывая, что $\vec{BA} = \vec{DE}$, получаем $\vec{BA_1} = \vec{DE_1}$. Равенство направляющих векторов означает, что прямые $BA_1$ и $DE_1$ параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Найдем расстояние от точки $D$ (которая лежит на прямой $DE_1$) до прямой $BA_1$.

Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BA_1$. Данный перпендикуляр совпадет с отрезком $BD$, если доказать, что вектор $\vec{BD}$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $BA_1$, то есть вектору $\vec{BA_1}$. Проверим это с помощью скалярного произведения.

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = (\vec{BA} + \vec{AA_1}) \cdot \vec{BD} = \vec{BA} \cdot \vec{BD} + \vec{AA_1} \cdot \vec{BD}$.

Вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$, в которой лежит вектор $\vec{BD}$. Следовательно, $\vec{AA_1} \perp \vec{BD}$, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AA_1} \cdot \vec{BD} = 0$.

Теперь рассмотрим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BD}$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной 1 рассмотрим треугольник $ABD$. Длины его сторон: $AB = 1$ (ребро), $AD = 2$ (большая диагональ), $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ). По теореме косинусов для $\triangle ABD$ найдем угол $\angle ABD$:

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2(AB)(BD)\cos(\angle ABD)$

$2^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle ABD)$

$4 = 1 + 3 - 2\sqrt{3}\cos(\angle ABD)$

$0 = - 2\sqrt{3}\cos(\angle ABD) \implies \cos(\angle ABD) = 0$.

Это означает, что $\angle ABD = 90^\circ$, то есть векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0$.

Таким образом, скалярное произведение $\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = 0 + 0 = 0$. Это доказывает, что прямая $BA_1$ перпендикулярна отрезку $BD$. Значит, кратчайшее расстояние от точки $D$ до прямой $BA_1$ — это и есть длина отрезка $BD$.

Длина $BD$ — это длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной 1, которая равна $\sqrt{3}$.

Способ 2: Координатный метод

Введем систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим через вершину $A$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$. Так как сторона шестиугольника равна 1, расстояние от центра до любой вершины также равно 1.

Координаты необходимых нам вершин основания:

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Высота призмы равна 1, поэтому координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к аппликате:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем направляющие векторы прямых $BA_1$ и $DE_1$.

$\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

$\vec{v_2} = \vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Так как $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, прямые параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки $D$ на одной прямой до прямой $BA_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BA_1$. Как и в первом способе, проверим, не является ли отрезок $BD$ этим перпендикуляром.

Найдем вектор $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение направляющего вектора $\vec{BA_1}$ и вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{BD} = (1/2) \cdot (-3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 0 = -3/4 + 3/4 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{BD}$ перпендикулярен прямой $BA_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине вектора $\vec{BD}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомое расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.