Номер 17, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы, шестиугольника $ABCDEF$, совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ направим так, чтобы она проходила через вершину $A$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны 1, сторона основания равна 1, и высота призмы также равна 1. Вершины основания $ABCDEF$ лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат в плоскости $z=0$. Угол между векторами, проведенными из центра к соседним вершинам, составляет $360^\circ/6 = 60^\circ$.

Найдем координаты необходимых нам вершин:

• Вершина $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$.
• Вершина $B$ получается поворотом вектора $OA$ на $60^\circ$ против часовой стрелки: $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$, что дает $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $C$ получается поворотом вектора $OA$ на $120^\circ$: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0)$, что дает $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $E$ симметрична вершине $B$ относительно начала координат: $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Вершина $F_1$ находится над вершиной $F$. Вершина $F$ симметрична вершине $C$ относительно начала координат, поэтому $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Так как высота призмы равна 1, координаты вершины $F_1$ будут $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $EF_1$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим отрезок $CE$. Точка $C$ принадлежит прямой $BC$, а точка $E$ принадлежит прямой $EF_1$. Докажем, что отрезок $CE$ является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $EF_1$. Для этого нужно показать, что $CE \perp BC$ и $CE \perp EF_1$.

1. Проверка перпендикулярности $CE$ и $BC$.

Найдем векторы, соответствующие этим отрезкам:

$\vec{BC} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

$\vec{CE} = E - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{BC} \cdot \vec{CE} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, прямые $BC$ и $CE$ перпендикулярны.

2. Проверка перпендикулярности $CE$ и $EF_1$.

Найдем вектор направления для прямой $EF_1$:

$\vec{EF_1} = F_1 - E = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (1, 0, 1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{CE}$ и $\vec{EF_1}$:

$\vec{CE} \cdot \vec{EF_1} = 0 \cdot 1 + (-\sqrt{3}) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Скалярное произведение также равно нулю, следовательно, прямые $CE$ и $EF_1$ перпендикулярны.

Поскольку отрезок $CE$ соединяет точки на прямых $BC$ и $EF_1$ и перпендикулярен обеим прямым, он является их общим перпендикуляром. Расстояние между прямыми равно длине этого отрезка.

3. Вычисление расстояния.

Найдем длину вектора $\vec{CE}$:

$|\vec{CE}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BC$ и $EF_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.